本文主要描述分治算法的一般描述和分析方法。銜接上一篇文章：【算法設計與分析】13 分治策略的設計思想

文章目錄

• • 1 分治算法的一般性描述
  • • 1.1 分支算法的時間分析
    • 1.2 兩類常見的遞推方程與求解方法
  • 2 總結

1 分治算法的一般性描述

• 設分治算法為：Divide-and-Conquer§

• 設計要點

原問題可以劃分或者規約為規模較小的子問題。其中子問題之間遵循以下的規則：

1. 子問題與原問題具有相同的性質2. 子問題的求解彼此獨立3. 劃分時，子問題的規模盡可能均衡

子問題較小時可以直接求解

子問題的解綜合可以得到原問題的解

算法的實現：迭代或者遞歸

1.1 分支算法的時間分析

時間復雜度函數的遞推方程：

• $W(n)=W(|P_1|)+W(|P_2|)+...+W(|P_k|)+f(n)$
• $W(c)=C$

其中

$P_1,P_2,...P_{k}w為劃分后產生的子問題$

$f(n)為劃分子問題以及將子問題的解綜合得到原問題的解的總工足量$

規模為c的最小子問題的工作兩為：C

1.2 兩類常見的遞推方程與求解方法

• $$f(n)=\sum _i^n{a}_{i}f(n?i)+g(n)，(1)$$
• $$f(n)=af(\frac{n}{b})+d(n)，(2)$$

例子：

Hanoi塔，$W(n)=2W(n?1)+1$
二分檢索，$W(n)=W(n/2)+1$
歸并排序，$W(n)=2W(n/2)+n?1$

那么這些遞推方程如何求解？

• 方程1：$f(n)={\sum }_i^n{a}_{i}f(n?i)+g(n)$

迭代法、遞歸樹

• 方程2：$f(n)=af(\frac{n}{b})+d(n)$

迭代法、換元法、遞歸樹、主定理

對于方程2，可以使用主定理，該定理可以很快求解出方程的解，前面的文章已經學習過主定理，這里再次提一下：

• 對于方程$T(n)=aT(n/b)+d(n)$

如果d(n)為常數：

$$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^{lo{g}_{b}a}),& \text{a?=1}\\ O(logn),& \text{a=1}\end{array}$$

如果d(n) = c(n)

$$T(n)=?\begin{array}{ll}O(n),& \text{a?<?b}\\ O(nlogn),& \text{a=b}\\ O(n^{lo{g}_{b}a}),& \text{a>b}\end{array}$$

注：上述的$lo{g}_{b}a$中的b是以b為底的意思，但是上面的公式顯示的不明顯。

2 總結

• 想要徹底理解分治算法的思想，還需要多做練習，后面的文章會結合具體的例子，來講解分治算法的思想在具體應用中的使用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】14 分治算法的一般描述和分析方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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