上一篇文章使用遞推方程的方法求解了插入排序和二分歸并的時間復雜度，本文來求解快速排序的時間復雜度，同樣是利用了遞推方程法，但是求解該遞推方程的方法與以前不一樣：差消法

文章目錄

• • 1. 快速排序的時間復雜度求解
  • 2. 總結

1. 快速排序的時間復雜度求解

這里求解的是快速排序的平均時間復雜度，并非求解的是最壞情況時間復雜度，為什么？

想想上一篇文章，都是可以很容易的列出求解時間復雜度的遞推式子。而在求解快速排序的平均情況時間復雜度時，有一些不太一樣。

假設A[p,…,r] 的元素都不相等，以首元素A[1]對數組劃分，使得：

• 小于x的元素被放在A[p,…,q-1]
• 大于x的元素被放在A[q+1,…,r]

然后遞歸的對A[p,…,q-1]和A[q+1,…,r]進行快速排序的過程。

那么上述的工作量就是：子問題工作量+劃分問題的工作量

上述過程的輸入情況如下：

• 有n種可能的輸入
  

對上面的每種輸入，劃分的比較次數都是n-1

那么由此可以計算出工作量總和：

那么假設首元素排好序在每個位置的概率都是相等的，則可求出快速排序的平均工作量（總工作量/元素個數）：

• 可以看出，上述的遞推方程式是關于全部歷史的遞推方程，很難通過迭代法進行求解。

對于高階的地拖方程，一般使用差消法，進行求解。利用兩個方程相減，將右邊的項盡可能消去，以達到降階的目的。

• 差消化簡
  

• 迭代求解

可以看出，最終求解的快速排序的平均情況下的時間復雜度是$nlogn$級別的。這一結果，正是我們所熟悉的結果。

2. 總結

• 對于高階遞推方程的求解，要先用差消發進行化簡為一階遞推方程，然后再使用迭代法進行計算。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】10 差消法化简高阶递推方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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