上一篇文章學習了：【算法設計與分析】15 分治策略：芯片測試

文章目錄

• • 1. 快速排序的基本思想
  • • 1.2 時間復雜度的計算
    • • 1.21 最壞情況時間復雜度計算
      • 1.22 最好情況時間復雜度
      • 1.23 平均時間復雜度計算
  • 2 總結

1. 快速排序的基本思想

• 用首元素 x 作劃分標準，將輸入數 組 A劃分成不超過 x 的元素構成的數 組 A_L，大于 x 的元素構成的數組 A_R. 其中 A_L, A_R從左到右存放在數組 A 的位置.
• 遞歸地對子問題 A_L和 A_R 進行排序， 直到子問題規模為 1 時停止.

下面兩張圖是它的偽代碼表示：

劃分的過程為：

以下是劃分的例子：

1.2 時間復雜度的計算

1.21 最壞情況時間復雜度計算

最壞情況:

• W(n) = W(n-1)+n-1
• W(1) = 0

得出：

• W(n) = n(n-1)/2

在最壞情況下，有一種可能為：每次劃分，首元素依然是在首元素，它是最小的（或者是最大的），下次劃分也是同樣的結果。這種情況下，是最壞的情況。子問題永遠比上一個原問題只少了一個元素。并且每次都需要對n-1個元素進行遍歷比較。

由上面的結果看出最壞的情況的時間復雜度是O(n²)

1.22 最好情況時間復雜度

最好情況下，就是每一次劃分，A_L 與A_R 總是均衡的在兩邊，首元素最終落到中間。那么子問題就變成了原問題的一半的元素數量(但是有兩個子問題)。

• T(n) = 2 T(n/2)+n-1
• T(1) = 0

得出：
$T(n)=\Theta (nlogn)$

以上兩種時間復雜度是最好和最壞的情況下。那么均衡額時間復雜度如何計算呢？

在計算均衡時間復雜度之前先來看看劃分之后A_L 與 A_R 的比例是固定時的時間復雜度是多少？

例如子問題的規模比是1：9時，那么有：

• T(n) = T(n/10) + T(9n/10) + n
• T(1) = 0

根據遞歸樹，時間復雜度為:

• $T(n)=\Theta (nlogn)$

注釋，上面的遞歸樹計算如下：

1.23 平均時間復雜度計算

那么平均時間復雜度計算如下：

首元素最后落在的位置，可能在1，2，3…n

假設情況的概率均為1/n，那么各個情況下，子問題的計算規模如下：

• 首元素在位置 1: T(0), T(n-1)
• 首元素在位置 2: T(1), T(n-2)

…

• 首元素在位置 n-1: T(n-2), T(1)
• 首元素在位置 n: T(n-1), T(0)

那么子問題的工作量一共為：2[T(1)+T(2)+…+T(n-1)]

劃分工作量 n-1

那么平均情況下時間復雜度計算公式為：

首元素劃分后每個位置概率相等

2 總結

快速排序一般人都能寫出來，但是要理解它的時間復雜度計算，恐怕并不是一般人都會計算，我們要追根問底。

快速排序算法
? 分治策略
? 子問題劃分是由首元素決定 ? 最壞情況下時間O(n²)
? 平均情況下時間為O(nlogn)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】16 分治策略：快速排序(快速排序的时间复杂度计算)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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