算法中很多方法都是可以采用分治策略進行設計與優化，那么什么是分治策略？如何使用分治策略進行算法的設計與分析？

文章目錄

• • 1. 分治策略的基本思想
  • • 1.1 二分檢索的設計思想
    • 1.2 二分歸并排序的設計思想
    • 1.3 Hanoi塔的遞歸算法
  • 2 小結

1. 分治策略的基本思想

• 分治策略（Divide and Conquer）

將原始問題劃分或歸結為規模較小的子問題

遞歸或者迭代的求解每個子問題

將子問題的解綜合得到原問題的解

在設計分治策略時，一定要注意以下幾點：

子問題與原問題的性質完全一樣

子問題之間可以彼此獨立的求解

遞歸停止時，子問題可以直接進行求解得出結果。

下面以二分檢索的例子來分析分之策略的思想。

1.1 二分檢索的設計思想

• 設算法：Binary Search(T，l，r，x)。
• 輸入：排好序的數組T ，下標從l到r；數x。
• 輸出：j //若x在T中，則為下標，否則為0

給出下面的偽碼

二分檢索的設計思想：

通過x與數組的中位數進行比較，將原問題歸結為規模減半的子問題。如果x小于中位數，則子問題由小于x的數構成，否則子問題由大于x的數構成。

對子問題進行二分搜索算法

當子問題為1時，直接比較T[m]與x，若相等則返回m，否則返回0.

二分檢索最壞情況下時間復雜度分析，在前面的文章中已經學習了如何分析算法的時間復雜度，如果不懂下面的公式的，可以多看看前面的文章。

$W(n)=W(?n/2?)+1$
$W(1)=1$

可以解出：

$W(n)=?logn?+1$

1.2 二分歸并排序的設計思想

• 設算法：Merge Sort(A,p,r)
• 輸入：A[p…r]
• 輸出：元素按從小到大排序額數組A

先看以下偽碼：

二分歸并的設計思想：

將原問題劃分為規模為n/2的兩個子問題

繼續劃分，將原問題歸結為4個子問題，繼續…當子問題估摸為1時，劃分結束。

從規模1到n/2，陸續歸并被排好序的兩個數組。每歸并一次，數組規模擴大一倍，直到原始數組。

二分歸并排序的時間復雜度：假設n為2的冪次方，二分歸并排序最壞時間復雜度為：

$W(n)=2W(n/2)+n?1$
$W(1)=0$

可以解出：
$W(n)=nlogn?n+1$

仔細體會著其中的分治策略

1.3 Hanoi塔的遞歸算法

Hanoi塔的算法設計思想：

將原問題歸結為規模為n-1的兩個子問題

繼續歸結，將原問題歸結為n-2的四個子問題.繼續… ，當子問題規模為1時，歸約過程截止。

從規模為1到n-1，陸續組合兩個子問題的解，知道規模為n。

2 小結

將原問題歸約為規模較小的子問題，子問題與原問題性質完全一樣

子問題規模足夠小時，可以直接求解

算法可以遞歸也可以迭代實現

算法的分析方法為：遞推方程

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法设计与分析】13 分治策略的设计思想的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。