簡單遞歸定義

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什么叫遞歸？（先定義一個比較簡單的說法，為了理解，不一定對）

遞歸：無限調用自身這個函數，每次調用總會改動一個關鍵變量，直到這個關鍵變量達到邊界的時候，不再調用。

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比如說我要你先求一個N!的結果

你說我會用循環啊（沒錯，但是現在是學遞歸）

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private int factorial(int x,int ans) { if(x==1) return ans; factorial(x-1,ans*x); }

怎么樣，對于Java基礎如果掌握的還行的話，這段代碼應該很好理解。遞歸，顧名思義就是“遞”和“歸”。也就是說，寫每一個遞歸函數的時候，都應該在寫之前考慮清楚，哪里體現了“遞”，哪里體現了“歸”。

但是常常遞歸函數會比較復雜， “遞”和“歸”看起來并不是那么明顯，這就需要我們進一步來理解遞歸算法的思想。

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比如說我現在要你用輾轉相除法求出兩個數的最大公約數，遞歸函數如下：

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private int gcd(int a,int b) { return a%b==0?b:gcd(b,a%b); }

這是一段很常用的代碼，我們知道，在學習過程中不求甚解是最不應該的。因此現在來仔細看一看。這里的“遞”和“歸”放在同一行。首先進行判斷a==b?（我們可以想象成“歸”的內容，如果這個條件符合的話）。當然，如果不符合這個判斷，那就繼續“遞”，也就是繼續進行gcd(b,a%b);

看到這里，你就會發現，遞歸不就是循環的另一種方式么？

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說對了一半，不過遞歸是一種思想，現在還暫時不能說透，需要大家先比較一下循環和遞歸的相同點和不同點（飯一口一口吃，別著急）

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遞歸與循環的區別與聯系

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相同點：

• 都是通過控制一個變量的邊界（或者多個），來改變多個變量為了得到所需要的值，而反復而執行的；

• 都是按照預先設計好的推斷實現某一個值求取；（請注意，在這里循環要更注重過程，而遞歸偏結果一點）

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不同點：

遞歸通常是逆向思維居多，“遞”和“歸”不一定容易發現（比較難以理解）；而循環從開始條件到結束條件，包括中間循環變量，都需要表達出來（比較簡潔明了）。

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簡單的來說就是：用循環能實現的，遞歸一般可以實現，但是能用遞歸實現的，循環不一定能。因為有些題目①只注重循環的結束條件和循環過程，而往往這個結束條件不易表達（也就是說用循環并不好寫）；②只注重循環的次數而不注重循環的開始條件和結束條件（這個循環更加無從下手了）。

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遞歸的經典應用

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來看看“漢諾塔問題”

如圖，漢諾塔問題是指有三根桿子A,B,C。C桿上有若干碟子，把所有碟子從A桿上移到C桿上，每次只能移動一個碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面。求最少要移動多少次？

這是一個循環只注重循環次數的常見例子，我們知道，用循環有點無從下手（就目前作者水平來看），但是遞歸就很好寫了。

漢諾塔，什么鬼，我不會啊？

別急，慢慢來。

我們首先需要一點思維：解決n塊盤子從A移動到C，那么我只需要先把n-1塊盤子從A移到B，然后把最下面的第n塊盤子從A移到C，最后把n-1塊盤子從B移到C（這就完成了）。

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等等，那么如何把n-1塊盤子從A移到B？

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很好，這說明你已經開始遞歸入門了。

同樣這樣去想：解決n-1塊盤子從A移動到B，那么我只需要先把n-2塊盤子從A移動到C，然后把倒數第二塊盤子從A移到B，最后把n-2塊盤子從C移到B（這就完成了）。

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這就是遞歸的“遞”！

那么“歸”呢？n==1的時候？

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實際上這里面已經使用到了一點點棧的思想（即最上面的最先考慮變化），但其實遞歸有的時候就是真的可以理解為棧！

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到了這一步，相信大家應該已經有所明白。循環其實就是一個控制變量從開始條件走到結束條件的過程（在循環的過程順帶把其他變量也改變一下），因此需要控制變量，開始條件，結束條件（缺一不可）。但是遞歸只要告訴你“歸”是什么，如何去“遞”，不管過程如何，只要計算結果即可。

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遞歸可以是多個“遞”，也可以是多個“歸”；而循環由始至終都只由一個變量控制（就算有幾個變量同時控制）

也只有一個出口，每次循環也只是一個“遞”。

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再看一個例子

用二分思想建立二叉樹（通常的是遞歸實現），比如說線段樹

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//root 節點序號 //left 節點維護的左邊界 //right 節點維護的右邊界 private void build(int root,int left,int right) { if(left==right) return ; int mid=(left+right)/2; build(root*2，left,mid); build(root*2+1,mid+1,right); }

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如果你是新手看不太懂也沒關系，現在最主要的是明白：在這個程序里面只有一個“歸”，但是有兩個“遞”。那么如果學過一點但是對這一塊還不明白的怎么辦呢？別急，聽我來解釋：

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實際上，這兩個 “遞”是按照先后分別進行的，等到第一個“遞”執行完（也就是到了“歸”的條件之后），才開始執行第二個“遞”。也就是說，通常在建樹的時候，都不是一層一層同時建的，而是先建一棵子樹，等到這棵子樹全部建完之后，才開始建立另外一棵子樹。

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那就會有人問了，一棵子樹建完了之后root值不會變么，root值變了之后還怎么建另外一棵子樹呢？

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root值不會變！大家請注意，這里root*2是寫在遞歸函數里面的，實際上并沒有賦值？為什么要這樣寫？因為如果不這樣寫，你直接寫在外邊的話，一棵子節點到達葉子節點之后，需要一層一層往上回溯（在這里提到了回溯的思想），而回溯就會無故產生很多不必要的時間復雜度，降低了遞歸效率（實際上遞歸的時間效率本來就有一點偏低）。

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所以到目前為止，我只是介紹一些很常見的簡單的遞歸，但是在接下來，我就需要說一些比較深層一點的知識了。

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首先要理解一下什么是回溯

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回溯：在遞歸的過程中由于改變的量需要倒退到某一個位置而執行的步驟。

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先來看一個簡單的素數環問題：

給出1到n的n個連續的正整數（這里n暫時等于6），并且把這n個數填寫在如下圖的n個圓圈里面（當然是不重復不遺漏了）。要求是每一個位置上面的數跟他相鄰的數之和都為一個素數，打印并輸出最后滿足條件的情況。

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首先明白，開始條件是 1，把1填寫在第一個位置，然后在剩下的n-1個數字里找到一個滿足與1的和是一個素數的數（當然如果有多個，先靠前的先考慮）。接下來再繼續從剩下n-2個數字里找到一個與這個數的和又是一個素數的數（當然如果有多個，同上。）。。。最后的一個數只要滿足與最開始的數1之和是一個素數的話，這個情況就滿足了（就可以打印輸出這樣一個例子了）

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但事情并沒有想象的那么簡單。。。（告訴我如果在中途尋找的過程中從剩下的數里找不到與當前數的的和是一個素數的情況出現怎么辦？在線等）

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這就表明這樣一條路終歸是一條思路，你要往回走了！這就很符合我們給回溯的定義了，此時這個改變的量需要倒退的前面一步從另外一個方向尋找了。（還是舉栗子吧）

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比如說：

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1->2->3->4 突然發現5和6都不滿足要求了

那么就倒退，準備找另外滿足要求的數

1->2->3 又發現除了4以外3跟5或者3跟6也不滿足要求

那就繼續倒退，繼續準備找另外滿足要求的數

1->2->5->6 接下來發現6跟3或者6跟4不滿足要求

…(還想繼續下去？乖，別這樣，我也累啊，看一兩個就行了，啊！) 最后發現滿足條件的一個是1->4->3->2->5->6

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大家應該已經懂了，上面的倒退，實際上就是回溯。（暫時這樣簡單的理解吧，錯了也不能怪你們）

實際上，遞歸+回溯就已經是dfs(深度優先搜索)的內容范疇了。

[AppleScript]?純文本查看?復制代碼

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private void dfs(int x) { if(x==n+1&&prime(a[x-1]+a[1])) //如果滿足條件就可以打印輸出數據了，這里就是“歸” { for(int i=1;i<n;i++) cout<<a[i]<<" "; cout<<a[n]<<endl; } else //否則就繼續“遞” { for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i]&&prime(i+a[x-1])) { vis[i]=1; //vis[]是一個標記數組，表示當前的數字已經被使用過了 a[x]=i; dfs(x+1); //“遞”的入口 vis[i]=0; //請注意，回溯點在這里 } } } }

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大家可能前面都看懂了，比如說“遞”和“歸”，vis[]標記數組什么的。但是最后一個vis=0是啥意思？難道不多余么？

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不多余！前面我已經拿建樹給大家講過遞歸的“工作原理”，它是先無限遞歸，然后到達某個條件之后，回溯到上面一個位置，繼續向其他方向遞歸。而這個vis=0就是清楚當前數字的標記，表示從當前節點開始，之后遞歸過的內容統統清空（也就是回溯）。然后根據循環，進行下面一個方向的繼續遞歸。

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總結

（1）把遞歸當成復雜的循環來寫，如果不明白過程，多模擬幾遍數據；

（2）把遞歸逆向寫的時候當做一個棧來實現（即符合先進先出的思想）；

（3）當遞歸和回溯結合在一起的時候需要明白遞歸次數和統計次數之間的練習和區別；

（4）但遞歸有多個“遞”和“歸”的時候，選擇一個重點的“遞”和“歸”作為匹配，即時題目即時分析，注意隨機應變即可。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Java递归算法经典实例的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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