SG函數定義：SG（x） = mes(S),mes為集合運算，表示集合中沒出現的最小非負整數。
其中S為SG(x)的所有后繼狀態的SG函數值的集合，這是一個遞推的運算式子，可知終態SG(t) = 0，因為終態t的后繼狀態是一個空集。

公平的組合游戲，如取石子游戲，如果將狀態和后繼狀態抽象出來建圖，構成的是一個DAG圖。

什么是博弈的狀態：如下一盤棋時，當前的棋局就是一個狀態，你的決策：移動哪個棋子，會使得棋局進入另外一個狀態。取石子游戲中，當前剩余的石子數就是一個狀態，當你拿掉某一堆石子中的某幾顆石子后，就會進入下一個狀態，下一個狀態稱為當前狀態的后繼狀態。可知組合游戲的狀態圖一定是一個DAG圖，無論如何博弈進行，游戲最終會走向一個終態，而終態沒有后繼狀態。

必敗態和必勝態概念：
在組合游戲博弈中存在必敗態和必勝態的這樣的概念，對于游戲的所有可能狀態，每一個狀態都是必敗態或必勝態。只要采取最優的決策，處于必勝態的人可以永遠處于必勝態。

必敗態：當前狀態的所有后繼狀態都是必勝態，則當前狀態是必敗狀態。
必勝態：當前狀態中有一個后繼狀態是必敗態，則當前狀態是必勝狀態。

假設游戲的兩人都絕頂聰明，游戲過程中狀態的變化就是：必勝態 -> 必敗態 -> 必勝態…，交替出現的場景（不夠聰明的情況可能會連續出現必勝態）。

顯然終態是必敗態，可以采用逆推的方式推出其他的狀態是必敗態還是必勝態，以判斷當前狀態是先手贏還是后手贏。（競賽中可以通過打表來求得當前狀態的性質）

單個游戲很容易求得必敗態和必勝態，多個游戲呢？首先介紹一下游戲和（多個游戲組合的游戲）
什么是多個游戲組合的游戲？例如取石子游戲，如果只有一堆石子，就是單個的游戲，如果有n堆石子，就是多個的游戲和（每一堆都是一個游戲）。

這里要用到SG函數了，來看下SG函數的作用：

SG函數的作用：SG函數取值為0當且僅當當前狀態為必敗態。終態SG函數值顯然是0，其它狀態可以用遞推的方式求出，對于每一個狀態枚舉所有的后繼狀態。

SG函數要借助SG定理才能發揮它的作用，對于單個組合游戲，可以直接求得當前狀態是必勝態還是必敗態，而對于多個組合游戲組合的組合游戲，有SG定理：游戲和的SG函數值等于各子游戲SG函數的NIM和（NIM和表示異或和）。

例如有3堆石子的取石子游戲：當前狀態x,y,z 的sg函數值為 sg[x] ^ sg[y] ^ sg[z]

總結

以上是生活随笔為你收集整理的博弈论SG函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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