【問題描述】[中等]

【解答思路】

1. 動態規劃

第 1 步：狀態定義
dp[node][j] ：這里 node 表示一個結點，以 node 為根結點的樹，并且規定了 node 是否偷取能夠獲得的最大價值。

j = 0 表示 node 結點不偷取；
j = 1 表示 node 結點偷取。
第 2 步： 推導狀態轉移方程
根據當前結點偷或者不偷，就決定了需要從哪些子結點里的對應的狀態轉移過來。

如果當前結點不偷，左右子結點偷或者不偷都行，選最大者；
如果當前結點偷，左右子結點均不能偷。
（狀態轉移方程的表述有點復雜，請大家直接看代碼。）

第 3 步： 初始化
一個結點都沒有，空節點，返回 0，對應后序遍歷時候的遞歸終止條件；

第 4 步： 輸出
在根結點的時候，返回兩個狀態的較大者。

第 5 步： 思考優化空間
優化不了。
時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(N)

public class Solution {// 樹的后序遍歷public int rob(TreeNode root) {int[] res = dfs(root);return Math.max(res[0], res[1]);}private int[] dfs(TreeNode node) {if (node == null) {return new int[]{0, 0};}// 分類討論的標準是：當前結點偷或者不偷// 由于需要后序遍歷，所以先計算左右子結點，然后計算當前結點的狀態值int[] left = dfs(node.left);int[] right = dfs(node.right);// dp[0]：以當前 node 為根結點的子樹能夠偷取的最大價值，規定 node 結點不偷// dp[1]：以當前 node 為根結點的子樹能夠偷取的最大價值，規定 node 結點偷int[] dp = new int[2];dp[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);dp[1] = node.val + left[0] + right[0];return dp;} }

2. 遞歸

使用爺爺、兩個孩子、4 個孫子來說明問題
首先來定義這個問題的狀態
爺爺節點獲取到最大的偷取的錢數呢

首先要明確相鄰的節點不能偷，也就是爺爺選擇偷，兒子就不能偷了，但是孫子可以偷

二叉樹只有左右兩個孩子，一個爺爺最多 2 個兒子，4 個孫子
根據以上條件，我們可以得出單個節點的錢該怎么算
4 個孫子偷的錢 + 爺爺的錢 VS 兩個兒子偷的錢 哪個組合錢多，就當做當前節點能偷的最大錢數。這就是動態規劃里面的最優子結構
由于是二叉樹，這里可以選擇計算所有子節點

4 個孫子投的錢加上爺爺的錢如下
int method1 = root.val + rob(root.left.left) + rob(root.left.right) + rob(root.right.left) + rob(root.right.right)
兩個兒子偷的錢如下
int method2 = rob(root.left) + rob(root.right);
挑選一個錢數多的方案則
int result = Math.max(method1, method2);

2.1暴力遞歸

public int rob(TreeNode root) {if (root == null) return 0;int money = root.val;if (root.left != null) {money += (rob(root.left.left) + rob(root.left.right));}if (root.right != null) {money += (rob(root.right.left) + rob(root.right.right));}return Math.max(money, rob(root.left) + rob(root.right)); }

2.2 記憶化遞歸
針對2.1中速度太慢的問題，經過分析其實現，我們發現爺爺在計算自己能偷多少錢的時候，同時計算了 4 個孫子能偷多少錢，也計算了 2 個兒子能偷多少錢。這樣在兒子當爺爺時，就會產生重復計算一遍孫子節點。

于是乎我們發現了一個動態規劃的關鍵優化點

我們這一步針對重復子問題進行優化，我們在做斐波那契數列時，使用的優化方案是記憶化，但是之前的問題都是使用數組解決的，把每次計算的結果都存起來，下次如果再來計算，就從緩存中取，不再計算了，這樣就保證每個數字只計算一次。
由于二叉樹不適合拿數組當緩存，我們這次使用哈希表來存儲結果，TreeNode 當做 key，能偷的錢當做 value

public int rob(TreeNode root) { //hashmap 記憶化HashMap<TreeNode, Integer> memo = new HashMap<>();return robInternal(root, memo); }public int robInternal(TreeNode root, HashMap<TreeNode, Integer> memo) {if (root == null) return 0;if (memo.containsKey(root)) return memo.get(root);int money = root.val;if (root.left != null) {money += (robInternal(root.left.left, memo) + robInternal(root.left.right, memo));}if (root.right != null) {money += (robInternal(root.right.left, memo) + robInternal(root.right.right, memo));}int result = Math.max(money, robInternal(root.left, memo) + robInternal(root.right, memo));///！！！memo.put(root, result);return result; }

【總結】

1. 動態規劃流程

第 1 步：設計狀態
第 2 步：狀態轉移方程
第 3 步：考慮初始化
第 4 步：考慮輸出
第 5 步：考慮是否可以狀態壓縮

2.遞歸 遞推公式要找準 后用記憶化搜索優化 這題不能用BFS，層次遍歷不符合題解

轉載鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/house-robber-iii/solution/san-chong-fang-fa-jie-jue-shu-xing-dong-tai-gui-hu/
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總結

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