隨機(jī)變量
　目標(biāo)：將實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化。實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)有數(shù)字型和非數(shù)字型。數(shù)字型：降雨量、上車人數(shù)等。非數(shù)字型：晴天/陰天/下雨、化驗(yàn)結(jié)果陰性/陽(yáng)性等。
　定義：隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間S，如果X=X(e)為定義在S上的實(shí)數(shù)單值函數(shù)，則稱X(e)為隨機(jī)變量。簡(jiǎn)寫為X。
　補(bǔ)充：隨機(jī)變量X(e):S->R 的映射關(guān)系。隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)是一個(gè)函數(shù)。
　　　如果i≠j，那么　{X=i}∩{X=j}=?
　　　一般用大寫字母X、Y、Z 或者希臘字母 ξ,η等表示隨機(jī)變量。
事件表示：A={e:X(e)∈I}={X∈I},I∈R
隨機(jī)變量的類型：離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量
　定義：如果隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)，或者可數(shù)個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。
　補(bǔ)充1：換句話說：如果一個(gè)函數(shù)自變量是有限個(gè)，或者可數(shù)個(gè)，那這個(gè)函數(shù)就是離散型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量，是一種映射關(guān)系，是函數(shù)。
　補(bǔ)充2：有限是指知道有多少個(gè)，例如一枚硬幣扔在地上，結(jié)果是正面或者反面，兩種結(jié)果。可數(shù)是指能數(shù)的。例如正奇數(shù)集{1,3,5,7,…}雖然不知道有多少個(gè)，但是是可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)的。有些情況是可數(shù)且有限個(gè)。例如人的年齡是可數(shù)且有限的，范圍從0,1,2,….200。根據(jù)目前的資料，沒有人年齡超過200的。那這個(gè)個(gè)數(shù)就是201。
　補(bǔ)充3：不可數(shù)是無窮集合的一種。一個(gè)無窮集合與自然數(shù)集合之間不是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么這個(gè)無窮集合是不可數(shù)的（？）。區(qū)間[0,1]，開始數(shù)：
　　　　　0.34956852…
　　　　　0.58692….
　　　　　0.24986….
那么 0.490… 一定是你沒有數(shù)到的。0.490…是這么來的：該數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的第i位是第i個(gè)被數(shù)到的數(shù)的第i位加1，約定 9+1=0

　離散型隨機(jī)變量的概率分布式律
　概率分布律是指隨機(jī)變量取所有可能取值的情況下，每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率。
　

　
　
　

X	x1	x2	…	xk	…
P	p1	p2	…	pk	…

　分布律的性質(zhì)： pk>=0; ∑+∞k=1pk=1
　另外一種表示： P(X=xk)=pk,k=1,2,3...
　
　離散型隨機(jī)變量的包含
　0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布都屬于離散型隨機(jī)變量。
　
0-1分布
　定義：若隨機(jī)變量X可能的取值只有0和1，并且X的概率分布律滿足 p0=1?p,p1=p，其中 0<p<1，就稱X服從參數(shù)為p的0-1分布記為 X～B(p)或 X～0?1(p)。0-1分布又稱為 貝努力分布。
　其分布律還可以寫為 P(X=K)=pk(1?p)(1?k)
　應(yīng)用
　　1檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格
　　2新生嬰兒的性別
　　3檢驗(yàn)種子是否發(fā)芽
　　4考試是否通過
二項(xiàng)分布
　關(guān)系：如果試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A或者 Aˉˉˉ，P(A)=p, 0<p<1,將E獨(dú)立的重復(fù)進(jìn)行n次，想了解n重貝努力試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就是二項(xiàng)分布。
　定義：若X的概率分布律為 P(X=k)=Cknpk(1?p)(n?k),k=0,1,2...,n>=1, ,0<p<1，就稱X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記為 X～B(n,p)。

泊松分布
　如果X的概率分布為P(X=k)=λke?λk!,k=0,1,2,3...,λ>0，就稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～π(λ)或者X～P(λ)。
　根據(jù)泰勒展開式eλ=∑∞k=0λkk!
　如果某事件以固定強(qiáng)度λ，隨機(jī)且獨(dú)立的出現(xiàn)，該事件在單位事件內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)可以看成是泊松分布。
　當(dāng)二項(xiàng)分布的n>10,p<0.1時(shí)，二項(xiàng)分布B(n,p)可以用泊松分布P(np)來近似。換句話說：當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于p的時(shí)候，泊松分布是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算公式。
　例如：某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)（單位時(shí)間）每200個(gè)成年人中會(huì)有1個(gè)人患上某種疾病（一定概率），設(shè)個(gè)人是否患病相互獨(dú)立（隨機(jī)且獨(dú)立）。求如果該地某一社區(qū)內(nèi)有1000個(gè)成年人，求某月內(nèi)該社區(qū)至少有3人患病的概率。

幾何分布
　若X的概率分布律為：P(X=K)=p(1?p)k?1，k=1,2,3… 稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～Geom(p)。表示在多重貝努力試驗(yàn)中，試驗(yàn)進(jìn)行到某一結(jié)果第一次出現(xiàn)為止，此時(shí)需要的試驗(yàn)次數(shù)的分布律。
　　　　　
概率分布函數(shù)
　定義：隨機(jī)變量X對(duì)任意實(shí)數(shù)x，稱函數(shù)F(x)=P(X<=x)為X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。
　補(bǔ)充：任何隨機(jī)變量都有對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)
　目的：給出隨機(jī)變量落在某個(gè)范圍的可能性。
　性質(zhì)：1 0<=F(x)<=1;2 F(x)單調(diào)不減；3 F(?∞)=0，F(+∞)=1;4 F(x)是右連續(xù)函數(shù)，F(x+0) = F(x)。
　計(jì)算：P(a<X≤b)=P(X≤b)?P(X≤a)=F(b)?F(a)
　　　　P(a<X<b)=P(a<X≤b?0)=F(b?0)?F(a)
　一般離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是分段函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P{X=x_k}=p_k,k=1,2,3… X的分布函數(shù)為F(x)=∑xk<=xpk.F(x)在x=x_k處有跳躍，其跳躍值為p_k=P{X=x_k}。

連續(xù)型隨機(jī)變量
　定義：隨機(jī)變量X的取值范圍不可數(shù)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。
　分類：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度
　定義：對(duì)于隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)F(x)，若存在非負(fù)的函數(shù)f(x)，使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有：F(x)=∫+∞?∞f(t)dt。則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。有時(shí)候也寫為fX(x)。
　性質(zhì)
　　1 f(x)>=0
　　2 ∫+∞?∞f(x)dx=1
　　3 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2，x1<x2，P(x1<x<x2)=∫x2x1f(t)dt
　　4 X落在點(diǎn)x附近(x,x+Δx)的概率近似等于 f(x)Δx。f(x)可以大于1，f(x)的大小表示了X落在x附近的可能性大小，f(x)與F(x)之間是積分與微分的關(guān)系。
　

均勻分布
　若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=???1b?a,x∈(a,b)0,其他，a<b，稱X服從(a,b)上的均勻分布。記為 X～U(a,b)
　
　　
　性質(zhì)：均勻分布具有等可能性。X落入(a,b)區(qū)間中等長(zhǎng)度的任意子區(qū)間上是等可能的。
　
指數(shù)分布
　若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=???λe?xλ,x>00,x≤0 ，稱X服從λ的指數(shù)分布。記為 X～E(λ) 或者 X～Exp(λ)
　分布函數(shù)為F(x)={1?e?λx,x>00,x≤0
　性質(zhì)：指數(shù)分布具有無記憶性。P(X>t0+t|X>t0)=e?λt=P(X>t)
　應(yīng)用
　　指數(shù)分布可以用來表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔，中文維基百科出現(xiàn)一條新詞條的時(shí)間間隔。在排隊(duì)論中，一個(gè)顧客接受服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短也服從指數(shù)分布。

正態(tài)分布
　若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=12π??√σe?(x?μ)22σ2 ，?∞<μ<+∞，σ>0，稱X服從參數(shù)μ,σ的正態(tài)分布。記為：X～N(μ,σ2)。
　
　性質(zhì)
　　1f(x)關(guān)于x=μ對(duì)稱。
　　2 當(dāng)x≤μ的時(shí)候，f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增。
　　3 fmax=f(μ)=12π??√σ
　　4 lim|x?μ|?>∞f(x)=0
　兩個(gè)參數(shù)的含義
　　1 固定σ，f(x)形狀不變，移動(dòng)位置，μ為位置參數(shù)。
　　2 固定μ，f(x)位置不變，σ小，圖形高瘦，σ大，圖形寬胖。稱為尺度參數(shù)。
　應(yīng)用
　1 測(cè)量誤差。3σ
　2 人的身高、體重
　正態(tài)分布的計(jì)算
　方法一：用excel、matlab計(jì)算
　方法二：數(shù)值積分
　方法三：轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，查表。
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
　X～N(0,1)，X稱為正態(tài)分布。
　Φ(?z0)=1?Φ(z0)
　轉(zhuǎn)換公式
　
　

隨機(jī)變量函數(shù)的分布
　隨機(jī)變量函數(shù)的分布=函數(shù)的函數(shù)的分布。已知隨機(jī)變量X的分布，Y=g(X)，g(X)已知，求Y的分布。
　
　　

　一般地，如果X～N(μ,σ2)，如果Y=ax+b，則Y～N(aμ+b,a2σ2)。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的第二章 随机变量的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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