隨機變量
　目標：將實驗結果數(shù)量化。實驗結構有數(shù)字型和非數(shù)字型。數(shù)字型：降雨量、上車人數(shù)等。非數(shù)字型：晴天/陰天/下雨、化驗結果陰性/陽性等。
　定義：隨機試驗樣本空間S，如果X=X(e)為定義在S上的實數(shù)單值函數(shù)，則稱X(e)為隨機變量。簡寫為X。
　補充：隨機變量X(e):S->R 的映射關系。隨機變量實質(zhì)是一個函數(shù)。
　　　如果i≠j，那么　{X=i}∩{X=j}=?
　　　一般用大寫字母X、Y、Z 或者希臘字母 ξ,η等表示隨機變量。
事件表示：A={e:X(e)∈I}={X∈I},I∈R
隨機變量的類型：離散型隨機變量、連續(xù)型隨機變量

離散型隨機變量
　定義：如果隨機變量X的取值為有限個，或者可數(shù)個，則稱X為離散型隨機變量。
　補充1：換句話說：如果一個函數(shù)自變量是有限個，或者可數(shù)個，那這個函數(shù)就是離散型隨機變量。隨機變量，是一種映射關系，是函數(shù)。
　補充2：有限是指知道有多少個，例如一枚硬幣扔在地上，結果是正面或者反面，兩種結果。可數(shù)是指能數(shù)的。例如正奇數(shù)集{1,3,5,7,…}雖然不知道有多少個，但是是可以一個一個的數(shù)的。有些情況是可數(shù)且有限個。例如人的年齡是可數(shù)且有限的，范圍從0,1,2,….200。根據(jù)目前的資料，沒有人年齡超過200的。那這個個數(shù)就是201。
　補充3：不可數(shù)是無窮集合的一種。一個無窮集合與自然數(shù)集合之間不是一一對應的關系，那么這個無窮集合是不可數(shù)的（？）。區(qū)間[0,1]，開始數(shù)：
　　　　　0.34956852…
　　　　　0.58692….
　　　　　0.24986….
那么 0.490… 一定是你沒有數(shù)到的。0.490…是這么來的：該數(shù)小數(shù)點后的第i位是第i個被數(shù)到的數(shù)的第i位加1，約定 9+1=0

　離散型隨機變量的概率分布式律
　概率分布律是指隨機變量取所有可能取值的情況下，每個取值對應的概率。
　

　
　
　

X	x1	x2	…	xk	…
P	p1	p2	…	pk	…

　分布律的性質(zhì)： pk>=0; ∑+∞k=1pk=1
　另外一種表示： P(X=xk)=pk,k=1,2,3...
　
　離散型隨機變量的包含
　0-1分布、二項分布、泊松分布、幾何分布都屬于離散型隨機變量。
　
0-1分布
　定義：若隨機變量X可能的取值只有0和1，并且X的概率分布律滿足 p0=1?p,p1=p，其中 0<p<1，就稱X服從參數(shù)為p的0-1分布記為 X～B(p)或 X～0?1(p)。0-1分布又稱為 貝努力分布。
　其分布律還可以寫為 P(X=K)=pk(1?p)(1?k)
　應用
　　1檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格
　　2新生嬰兒的性別
　　3檢驗種子是否發(fā)芽
　　4考試是否通過
二項分布
　關系：如果試驗E只有兩個可能的結果：A或者 Aˉˉˉ，P(A)=p, 0<p<1,將E獨立的重復進行n次，想了解n重貝努力試驗中A發(fā)生的次數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律，就是二項分布。
　定義：若X的概率分布律為 P(X=k)=Cknpk(1?p)(n?k),k=0,1,2...,n>=1, ,0<p<1，就稱X服從參數(shù)n，p的二項分布，記為 X～B(n,p)。

泊松分布
　如果X的概率分布為P(X=k)=λke?λk!,k=0,1,2,3...,λ>0，就稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～π(λ)或者X～P(λ)。
　根據(jù)泰勒展開式eλ=∑∞k=0λkk!
　如果某事件以固定強度λ，隨機且獨立的出現(xiàn)，該事件在單位事件內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)可以看成是泊松分布。
　當二項分布的n>10,p<0.1時，二項分布B(n,p)可以用泊松分布P(np)來近似。換句話說：當n遠遠大于p的時候，泊松分布是二項分布的近似計算公式。
　例如：某地區(qū)一個月內(nèi)（單位時間）每200個成年人中會有1個人患上某種疾病（一定概率），設個人是否患病相互獨立（隨機且獨立）。求如果該地某一社區(qū)內(nèi)有1000個成年人，求某月內(nèi)該社區(qū)至少有3人患病的概率。

幾何分布
　若X的概率分布律為：P(X=K)=p(1?p)k?1，k=1,2,3… 稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為X～Geom(p)。表示在多重貝努力試驗中，試驗進行到某一結果第一次出現(xiàn)為止，此時需要的試驗次數(shù)的分布律。
　　　　　
概率分布函數(shù)
　定義：隨機變量X對任意實數(shù)x，稱函數(shù)F(x)=P(X<=x)為X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。
　補充：任何隨機變量都有對應的分布函數(shù)
　目的：給出隨機變量落在某個范圍的可能性。
　性質(zhì)：1 0<=F(x)<=1;2 F(x)單調(diào)不減；3 F(?∞)=0，F(+∞)=1;4 F(x)是右連續(xù)函數(shù)，F(x+0) = F(x)。
　計算：P(a<X≤b)=P(X≤b)?P(X≤a)=F(b)?F(a)
　　　　P(a<X<b)=P(a<X≤b?0)=F(b?0)?F(a)
　一般離散型隨機變量的分布函數(shù)是分段函數(shù)。設隨機變量X的分布律為P{X=x_k}=p_k,k=1,2,3… X的分布函數(shù)為F(x)=∑xk<=xpk.F(x)在x=x_k處有跳躍，其跳躍值為p_k=P{X=x_k}。

連續(xù)型隨機變量
　定義：隨機變量X的取值范圍不可數(shù)，則稱X為連續(xù)型隨機變量。
　分類：均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布。

連續(xù)型隨機變量的概率密度
　定義：對于隨機變量Ｘ的分布函數(shù)F(x)，若存在非負的函數(shù)f(x)，使對于任意實數(shù)x有：F(x)=∫+∞?∞f(t)dt。則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。有時候也寫為fX(x)。
　性質(zhì)
　　1 f(x)>=0
　　2 ∫+∞?∞f(x)dx=1
　　3 對于任意實數(shù)x1,x2，x1<x2，P(x1<x<x2)=∫x2x1f(t)dt
　　4 X落在點x附近(x,x+Δx)的概率近似等于 f(x)Δx。f(x)可以大于1，f(x)的大小表示了X落在x附近的可能性大小，f(x)與F(x)之間是積分與微分的關系。
　

均勻分布
　若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=???1b?a,x∈(a,b)0,其他，a<b，稱X服從(a,b)上的均勻分布。記為 X～U(a,b)
　
　　
　性質(zhì)：均勻分布具有等可能性。X落入(a,b)區(qū)間中等長度的任意子區(qū)間上是等可能的。
　
指數(shù)分布
　若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=???λe?xλ,x>00,x≤0 ，稱X服從λ的指數(shù)分布。記為 X～E(λ) 或者 X～Exp(λ)
　分布函數(shù)為F(x)={1?e?λx,x>00,x≤0
　性質(zhì)：指數(shù)分布具有無記憶性。P(X>t0+t|X>t0)=e?λt=P(X>t)
　應用
　　指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔，中文維基百科出現(xiàn)一條新詞條的時間間隔。在排隊論中，一個顧客接受服務時間的長短也服從指數(shù)分布。

正態(tài)分布
　若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=12π??√σe?(x?μ)22σ2 ，?∞<μ<+∞，σ>0，稱X服從參數(shù)μ,σ的正態(tài)分布。記為：X～N(μ,σ2)。
　
　性質(zhì)
　　1f(x)關于x=μ對稱。
　　2 當x≤μ的時候，f(x)嚴格單調(diào)遞增。
　　3 fmax=f(μ)=12π??√σ
　　4 lim|x?μ|?>∞f(x)=0
　兩個參數(shù)的含義
　　1 固定σ，f(x)形狀不變，移動位置，μ為位置參數(shù)。
　　2 固定μ，f(x)位置不變，σ小，圖形高瘦，σ大，圖形寬胖。稱為尺度參數(shù)。
　應用
　1 測量誤差。3σ
　2 人的身高、體重
　正態(tài)分布的計算
　方法一：用excel、matlab計算
　方法二：數(shù)值積分
　方法三：轉(zhuǎn)為標準正態(tài)分布，查表。
標準正態(tài)分布
　X～N(0,1)，X稱為正態(tài)分布。
　Φ(?z0)=1?Φ(z0)
　轉(zhuǎn)換公式
　
　

隨機變量函數(shù)的分布
　隨機變量函數(shù)的分布=函數(shù)的函數(shù)的分布。已知隨機變量X的分布，Y=g(X)，g(X)已知，求Y的分布。
　
　　

　一般地，如果X～N(μ,σ2)，如果Y=ax+b，則Y～N(aμ+b,a2σ2)。

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎勵來咯，堅持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第二章 随机变量的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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