根據此題 整理下 擴展歐幾里得

擴展歐幾里得是用來判斷并求 ax + by = c 是否有解及其解的數學算法

首先列出定理

?1、ax + by = gcd(a,b)

?2、gcd(a,b) = gcd(b, a%b);

?

?本題 題意是 判斷兩個同向的青蛙 在初始位置(x,y)，速度不同(m,n)的情況下能否在一個球形路線(周長為L)下相遇

?也就是可以列出等式 ??

? ? (x + m*t)%L = (y + n*t)%L;

==> ? ??(x + m*t)%L -(y + n*t)%L =0

==> ? ??(x + m*t) -(y + n*t) ?+ k*L =0

==> ? ? (m - n )*t ?+ k*L = y-x

? ? ? ? a ? * ? x ?+ b*y = c;

判斷是否有解以及解；

如果C對gcd(a,b)取余不是0那么就說明無論怎么走 都不會相遇?

如果是0

說明有解 帶入擴展歐幾里得算法求解

我們對 ax + by = c?化簡 根據定理2

ax + by = gcd?(a,b) =?gcd?(b,a%b) ?= ?bx +(a%b) *y = c? = ...

當化簡到最后也就是 b = 0時候 原式可以表示成?a*x + 0*y =?gcd(a,0) = a

此時也就是說?==> x=1,y = 0;?

求得一個關于a*x +0*y = ?gcd(a,0) = a的解

ax' + by' ?

? ? ?= ?bx + (a%b) *y

? ? ?= bx + (a - a/b*b ) *y

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= bx + ay- a/b*by

? ? ? ? ? ? ? ? ? ???= ay + b(x-a/b*y)

也就是說 當前ab下的解

通過下一層遞歸的x和y求出

x' = y

y' = (x-a/b*y)

于是可以寫出擴展歐幾里得算法

當遞歸回溯回來的時候 我們就得到了?ax' + by' = gcd(a,b)的解 ?

?

ll egcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if(b==0) {x = 1,y = 0;return a;}ll ans = egcd(b,a%b,x,y);ll t = x;x = y;y = t-a/b*y;return ans; }

可是問題還沒解決 我們要求的是等于C的解我們現在得到了gcdab的一組解,這就需要我們進一步轉化答案?

?

設t = C/gcd(a,b)

可以將 ax + by? = c?=???a * t *x + b * t *y = gcd(a,b) *t ?

也就是 我們得到的解 的X值 也就是時間值 再乘以 t 就是對應C 下的x解

然后得到解后有可能解是負數 那么需要我們進一步找通解

通解公式

x = x0 + k * ( b / gcd(a,b) )

y?= y0 + k * ( a / gcd(a,b) )

最終可以獲得最小正整數解

例題 ?POJ 1061

code:

#include <iostream> #include <iomanip> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> #include <functional> #include <vector> #include <cmath> #include <string> #include <stack> #include <queue> using namespace std; typedef long long ll; ll egcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if(b==0){x = 1,y = 0;return a;}ll ans = egcd(b,a%b,x,y);ll t = x;x = y;y = t-a/b*y;return ans; } int main() {ll x,y,m,n,L;cin>>x>>y>>m>>n>>L;ll a,b,c;a = m-n;b = L;c = y-x;if(a<0){a = -a;c = -c;}ll gcd = egcd(a,b,x,y);cout<<egcd(x,y,a,b)<<endl;if(c%gcd!=0)puts("Impossible");else{x = x*c/gcd;ll t = b/gcd;if(x>=0)x %=t;elsex = x%t+t;}return 0; }

?

?

?

?

==> ? ??(x + m*t)%L -(y + n*t)%L =0

總結

以上是生活随笔為你收集整理的扩展欧几里得算法 POJ 1061的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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