【問題描述】[中等]

給定一個整數數組 A，返回其中元素之和可被 K 整除的（連續、非空）子數組的數目。示例：輸入：A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5 輸出：7 解釋： 有 7 個子數組滿足其元素之和可被 K = 5 整除： [4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]

【解答思路】

1. 暴力（不通過）

時間復雜度：O(N^2) 空間復雜度：O(1)

public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {int n = A.length;int res = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {int sum = 0;for (int j = i; j < n; ++j) {if ((sum += A[j]) % K == 0) {++res;}}}return res;}

2. 前綴和 同余思想

轉化為同余的思想

時間復雜度：O(N) 空間復雜度：O(N)

數組維護

// 計算同余法// 用sum保存前n個數之和// 計算每個sum的余數，保存// 余數相同則可以整除 ， 如// A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5// p[0] = 4, p[1] = 9, p[2] = 9, p[3] = 7, p[4] = 4, p[5] = 5// 余數對應 4,4,4,2,4,0;// 余數4有4個，排列組合法，計算4*3/2 = 6// 0余數相當于整除，用排列組合法(初始0賦值1)， 2*1/2 = 1;// 最終答案為7public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {int res = 0;// 記錄當前前綴和int preSum = 0;// 因為K固定，因此可以使用數組代替哈希表（mod[i] = j，代表余數為i的前綴和出現了j次）int[] mod = new int[K];// 余數為0的狀況，也就是直接被整除的情況，要提前放個1，考慮比如 A = {K}mod[0] = 1;for (int value : A) {// 更新前綴和preSum += value;// 計算mod（java注意）int m = (preSum % K + K) % K;// 更新結果res += mod[m];// 更新余數集記錄++mod[m];}return res;}

HashSet

class Solution {public int subarraysDivByK(int[] A, int K) {Map<Integer, Integer> record = new HashMap<>();record.put(0, 1);int sum = 0, ans = 0;for (int elem: A) {sum += elem;// 注意 Java 取模的特殊性，當被除數為負數時取模結果為負數，需要糾正int modulus = (sum % K + K) % K;int same = record.getOrDefault(modulus, 0);ans += same;record.put(modulus, same + 1);}return ans;} }

【總結】

1.取余問題

• 對于任何同號的兩個整數，其取余結果沒有爭議，所有語言的運算原則都是使商盡可能小。
• 對于異號的兩個整數，C++/Java語言的原則是使商盡可能大，很多新型語言和網頁計算器的原則是使商盡可能小。

//被除數是負數 C++（G++ 編譯）： cout << (-7) % 3; // 輸出 -1Java（1.6）： System.out.println((-7) % 3); // 輸出 -1Python 2.6：>>> (-7) % 3 // 輸出 2百度計算器：(-7) mod 3 = 2Google 計算器：(-7) mod 3 = 2 //除數是負數 C++（G++ 編譯）： cout << 7 % (-3); // 輸出 1Java（1.6）： System.out.println(7 % (-3)); // 輸出 1Python 2.6：>>> 輸出 -2百度計算器：7 mod (-3) = -2Google 計算器： 7 mod (-3) = -2】//被除數和除數同為負號 C++（G++ 編譯）： cout << (-7) % (-3); // 輸出 -1Java（1.6）： System.out.println((-7) % (-3)); // 輸出 -1Python 2.6：>>> 輸出 -1百度計算器：-7 mod (-3) = -1Google 計算器： -7 mod (-3) = -1

2. 前綴和 涉及到數組求和

3.數學是個好東西

轉載鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k/solution/guan-fang-ti-jie-tong-yu-fa-by-qi-xi-5/

參考鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/subarray-sums-divisible-by-k/solution/he-ke-bei-k-zheng-chu-de-zi-shu-zu-by-leetcode-sol/
參考鏈接：http://ceeji.net/blog/mod-in-real/

總結

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