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一、向量

1、簡單的高中那些就不說了....

2、左右手系：

右手系：將右手四指（拇指除外）從x軸方向以小于π的角度彎向y軸方向，如果拇指所指的方向為z軸的方向，則稱此坐標系為右手系。

左手系：將左手四指（拇指除外）從x軸方向以小于π的角度彎向y軸方向，如果拇指所指的方向為z軸的方向，則稱此坐標系為左手系。

3、單位向量的方向：設向量

，p的長度為 ，則它的單位向量可以表示為 。

所以向量投影的定義為：

其中方向余弦是：

； ； 。

三個方向余弦的平方和等于1，

4、向量的內積：兩個向量a和b的內積記作

，定義為下面的實數， ，若a與b中有一個為0的向量，則 。

其中：

。

5、對于任意的向量a，b，c，以及任意實數λ，有

（1）若

，則

（2）

（3）

（4）

6、向量的外積：

（1）定義：兩個向量a與b的外積記作

，它仍是一個向量，將其長度規定為： ，它的方向規定為與a，b均垂直，并且使 成右手系。

（2）性質：

①若a，b中有一個為0，則a×b=0。

②a×b=0的充分必要條件是a與b共線。

外積的幾何意義：當a與b不平行時，

表示以a和b為領邊的平行四邊形的面積。

（3）外積的計算性質：對于任意的向量a，b，c，以及任意實數λ，外積有

①

；② ；③

④

。

（4）外積的計算：設

， 。

。

為了方便記憶可以寫成：

7、向量的混合積：

（1）定義：三個向量a，b，c的混合積記作(a,b,c)，它是一個數，規定

（2）幾何意義：以三個非零向量a，b，c為棱作一個平行六面體，其底面積為|a×b|，高為

，其中θ為c與a×b的夾角。于是該平行六面體的體積為

（3）在空間直角坐標系中建立混合積的坐標表達式：

設

； ； 。

從而有：

注意，有的地方是寫成

此時他們定義的混合積是：

二、空間平面及其方程

1、平面的點法式方程：設π平面的法向量

， 是π平面上的一點，因此其平面方程為：

（其實很簡單，記住原理使法向量和平面上的一條向量垂直就可以了）

2、平面的一般式方程：

，其中 ，這個方程稱為平面的一般式方程

（1）設C≠0，則方程可以化成：

，對照平面的點法式方程，我們可以知道這是一個過 且以 為法向量的平面。

（2）特點：

①D=0時，方程表示一個過原點的平面。

②當D≠0時，若A，B，C中只有一個為零，則平面平行于某個坐標軸

（如只有C=0時，平面的法向量與z軸垂直，因此平面平行于z軸）

③當D≠0時，若A，B，C中只有一個不為零，則平面平行于某坐標面

（如只有A≠0，則平面的法向量平行于x軸，因此平面平行于yOz面）

3、平面的截距式方程：當abc≠0時，平面

在x、y、z軸上的截距分別為a、b、c，因此這種形式的平面稱為平面的截距式方程。

4、平面的三點式方程：用三點可以確定一個平面，三個點都在這個平面上面，設

； ； 。則這三個點構成的三個向量他們的混合積等于0，所以得到方程

5、兩平面間的關系設兩個平面：

； 。

結論：

（1）兩個平面重合

（2）兩個平面平行

（3）兩個平面相交

6、同軸平面束：經過同一條直線的所有平面的集合叫做同軸平面束。

設l為平面π1和平面π2的交線，則可以設λ1和λ2，就可以得到

以直線l為軸的平面束方程：

、

三、空間直線及其方程

1、直線的點向式方程（或者叫直線的對稱式方程）：設

，向量 是l的方向向量，所以P(x,y,z)在l上 向量P0P平行于s

則有

。此方程稱為直線的點向式方程。

2、直線的一般式方程：當

時，由方程組確定：

3、直線與直線的關系：設兩條空間直線：

；

分析：l1過點

，方向向量 ；

l2過點

，方向向量 。

兩直線固定點的向量P1P2為：

（1）共面與異面的判斷：s1、s2、P1P2的混合積為0則

共面，否則兩直線異面。

（2）共面后判斷是否重合、平行、相交。

①兩直線重合

②兩直線平行

且不平行于向量

③兩直線相交

三個向量共面但s1與s2不平行

四、直線與平面的關系，點和直線和平面的關系

1、直線與平面的關系：

設

, .

記s為l的方向向量

；π的法向量為

（1）l在π上

s垂直于n，且點 滿足平面π的方程

（2）l與π平行

方向向量s與n垂直，但是點不滿足平面π的方程

（3）l與π相交

方向向量s與n不垂直

（4）l與π垂直

s//n（即s×n=0）

2、直線與平面相互之間的夾角（都是銳角）

設l1、l2的方向向量分別為s1，s2。平面π1和π2的法向量分別為n1和n2。

（1）兩條直線的夾角：s1和s2的夾角為θ，把

（因為兩直線的夾角一定為銳角）稱為兩直線的夾角。 。

（2）兩個平面的夾角：n1與n2的夾角是θ，把

（因為平面的夾角一定為銳角）稱為平面的夾角的夾角。 。

（3）平面與直線的夾角：設s1和n1的夾角為θ，把

稱為直線l1與平面π1的夾角。有 。

3、距離問題：

（1）點到直線的距離：設

是空間一定點，過點 且方向向量為s的直線用 表示；點P0到l的距離用 表示。

設θ為向量s與向量P1P0的夾角，則從圖中可以得到有

又因為從外積公式得到

所以

。

（2）點到平面的距離：設

是空間一定點，過點 且法向量n的平面用 表示；點P0到l的距離用 表示。

設θ為向量n與向量P1P0的夾角，則從圖中可以得到，

。

由內積公式可以得到

所以可以得到：

。

（對于π平面的方程為：Ax+By+Cz+D=0，

則公式為

） 創作挑戰賽新人創作獎勵來咯，堅持創作打卡瓜分現金大獎

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c++ 圆上任意点坐标计算_线性代数总结 第三章 向量代数与几何计算（空间平面和直线）...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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