【新教材】7.1.1 數系的擴充和復數的概念?教學設計(人教A版)

?教材分析

本節作為復數一章的開篇，主要包括數系概念的發展簡介，數系的擴充，復數的相關概念、分類、相等條件，代數表示和幾何意義.

復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，引入復數以后，這不僅可以使學生對于數的概念有一個初步的、完整的認知，也為進一步學習數學打下基礎.通過本節課學習，要使學生在問題情境中了解數系擴充的過程以及引入復數的必要性，學習復數的一些基本知識，體會人類理性思維在數系擴充中的作用.

?教學目標與核心素養

課程目標

1.了解引進虛數單位i的必要性，了解數集的擴充過程．

2.理解復數的概念、表示法及相關概念．

3.掌握復數的分類及復數相等的充要條件．

數學學科素養

1.數學抽象：復數及相關概念；

2.邏輯推理：復數的分類；

3.數學運算：復數相等求參.

教學重難點?

重點：復數的分類及復數相等的充要條件．?

難點：復數的概念.

?課前準備

教學方法：以學生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

?教學過程

一、?情景導入

提問：1、N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發展得來的？

2．若給方程一個解，則這個解要滿足什么條件？是否在實數集中？實數與相乘、相加的結果應如何？

要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本68-69頁，思考并完成以下問題

1、實數系經過擴充后得到的新數集是什么？復數集如何分類？

2、復數能否比較大小？復數相等的充要條件是什么？純虛數、虛數、實數、復數關系如何？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．復數的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

?

全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復數集．

2．復數相等的充要條件

設a，b，c，d都是實數，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.

3．復數的分類

思考：復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間存在怎樣的關系？

[提示]

四、典例分析、舉一反三

題型一 ?復數的概念

例1下列命題中，正確命題的個數是 ????????????????()

①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；

③若x²＋y²＝0，則x＝y＝0；

④一個復數為純虛數的充要條件是這個復數的實部等于零；

⑤－1沒有平方根；

⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數．

A．0 ??????????B．1 ??????????C．2 ??????????D．3

【答案】A

【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復數的代數形式，不符合復數相等的充要條件，①錯．

②由于兩個虛數不能比較大小，所以②錯．

③當x＝1，y＝i時，x2＋y2＝0也成立，所以③錯．

④當一個復數實部等于零，虛部也等于零時，復數為0，所以④錯．

⑤－1的平方根為±i，所以⑤錯．

⑥當a＝－1時，(a＋1)i＝0是實數，所以⑥錯．故選A.

解題技巧(復數概念的理解)

(1)兩個復數不全是實數，就不能比較大小．

(2)一個數的平方非負在實數范圍內是真命題，在復數范圍內是假命題，所以在判定數的性質和結論時，一定要關注在哪個數集上．

(3)對于復數實部、虛部的確定不但要把復數化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實數時，才能確定復數的實、虛部．

跟蹤訓練一

1．下列命題正確的是________．

①復數－i＋1的虛部為－1.

②若z₁，z₂∈C且z₁－z₂>0，則z₁>z₂.

③任意兩個復數都不能比較大小．

【答案】①．

【解析】①復數－i＋1＝1－i，虛部為－1，正確；②若z₁，z₂不全為實數，則z₁，z₂不能比較大小，錯誤；③若兩個復數都是實數，可以比較大小，錯誤．

題型二 ?復數的分類

例2實數x分別取什么值時，復數是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．

【答案】(1)?x＝5時，z是實數．(2)?x≠－3且x≠5時，z是虛數．(3)x＝－2或x＝3時，z是純虛數．

解題技巧：?(復數分類的注意事項)

判斷一個復數在什么情況下是實數、虛數或者純虛數，應首先保證復數的實部、虛部均有意義．其次根據分類的標準，列出實部、虛部應滿足的關系式再求解．

跟蹤訓練二

1．實數m為何值時，z＝lg(m²＋2m＋1)＋(m²＋3m＋2)i是(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數．

題型三 ?復數相等的充要條件

例3?根據下列條件，分別求實數x，y的值．

(1)x²－y²＋2xyi＝2i；

(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.

，

解題技巧(復數相等問題的解題步驟)

復數相等的充要條件是復數問題實數化的主要依據，多用來求參數，其步驟是：分別確定兩個復數的實部與虛部，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．

跟蹤訓練三

1．已知M＝{2，m²－2m＋(m²＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求實數m的值．

【答案】1或2.

【解析】因為M∪N＝N，所以M?N，

五、課堂小結

讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧

六、板書設計

七、作業

課本70頁練習，73頁習題7.1的1-3題.

教學反思?

本節是本章的入門課，概念較多，但難度不大.通過使學生體會數系的擴充是生產實踐的需要，是數學學科自身發展的需要，從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類等.進而對本節課的知識掌握的更加牢固.?

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總結

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