給出一個(gè)正整數(shù)n(1<=n<=2³¹-1),求當(dāng)x，y都為正整數(shù)，方程sqrt(n)=sqrt(x)-sqrt(y);的解中，x的最小值是多少？
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一行，一個(gè)整數(shù)。
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一行，一個(gè)滿足條件的最小的x的解。
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算法分析1：任何一個(gè)正整數(shù)n一定能表示成n=p₁^a1×p₂^a2 × ……× p_k^ak的形式，其中p_i是質(zhì)數(shù)且p_i<p_j,ai是大于0的正整數(shù)。
因此將給定的n通過分解質(zhì)因子得到的上面的形式，要保證n×y是完全平凡數(shù)且n×y最小，就必須把n的質(zhì)因子的奇次冪加1使其換成偶次冪，也就是解出一個(gè)最小的y，使n×y成為完全平方數(shù)，通過上述分析y=(p₁a1%2)×(p₂a2%2)×……×(p_k^ak%2),這就是可以使y最小。
算法的時(shí)間復(fù)雜度主要取決對(duì)n的質(zhì)因數(shù)分解的代價(jià)，預(yù)處理sqrt(2³¹)以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，這樣便于對(duì)n的質(zhì)因數(shù)分解。
進(jìn)一步思考算法2：例如當(dāng)n=288，把n質(zhì)因子分解后得288=2⁵×3²=2⁴×3²×2，在乘上最小的y即2得到2⁴×3²×2²，就是一個(gè)完全平方數(shù)，按照這個(gè)思路，要把n寫成兩部分相乘式，一部分是已經(jīng)完全平方數(shù)形式用p²表示，另一部分用q表示，即n=p²×q，y=q；得
x=n+y+2×sqrt(n×y)=(p+1)×(p+1)×q;只需要y最小的q。即枚舉p，根據(jù)n=p²×q，求出最小的q和對(duì)應(yīng)的p從而求出x即可。

#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;long long n,t,x; int p; int main() {cin>>n;t=1;p=2;while(true){if(n%(p*p)==0){n=n/(P*P);t=t*p;}else ++p;if((P*P)>n)break;}x=(t+1)*(t+1)*n;cout<<x<<"\n";return 0; }

該算法是從小到大枚舉p，直到p×p>n時(shí)，q為最小從大到小枚舉p，那么第一個(gè)滿足n%p×p=0的p對(duì)應(yīng)q肯定是最小，這樣就可以停止枚舉了，在多數(shù)情況下該算法比小到大枚舉p的算法效率高。

#include<iostream> #include<math.h> using namespace std;long long n,q,x; int p; int main() {cin>>n;for(p=sqrt(n);p>=1;--p){if(n%(P*P)==0){q=n/(p*p);break;}}x=(p+1)*(p+1)*q;cout<<x<<"\n";return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的解方程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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