6阶群的非平凡子群_简明算术教程——第二章 群——第9节 可解群
本節我們簡單介紹一類重要的有限群：可解群。這個名稱來源于高于四次的一般代數方程根式不可解，在今后的章節將會進行詳細的介紹。
我們知道，多數的群都是非交換的。辨別一個群是否為交換群(Abel群)，或者與交換群相近的程度可以有許多種方法和標準。比如說：群G是Abel群當且僅當C(G)=G。所以群G的中心C(G)越大，可以認為G越接近Abel群。又比如說：元素g是中心元素當且僅當g與自身共軛，所以有限群G為Abel群當且僅當G中的每一個元素均是一個共軛類，即共軛類數量達到了最大值|G|。所以一個有限群的共軛類數越大，也可以說明它越接近Abel群。現在我們再給出一個標準。設
，考慮G的換位子群
，由于
，因此G是Abel群當且僅當
。群
越大則不為1的換位子越多，表示G離Abel群越遠。
現在我們來了解更多關于換位子群的性質。
(定理2.9.1)
。
證明：對于
，顯然
，所以
，于是
，由于g可為G中的任意元素，所以也有
，于是
。這就表明
。證畢。
(定理2.9.2)若
，則
是Abel群當且僅當
。
證明：若
是Abel群，則對每個
都有
，于是
，即
。特別地，
顯然是Abel群。反過來，若
，則根據第三同構定理得
，即
同構于
的商群，從而必是Abel群。證畢。
現在記
。于是得到G的一個子群序列
，
其中每一個
都是前一個
的正規子群。
(定義2.9.1)群G叫做可解群，是指
使得
。
每個Abel群都是可解群，因為此時
。更一般的我們有：
(定理2.9.3)可解群的子群和商群都是可解群。
證明：若
，設映射
將
個陪集
的代表元
都映為
，則總有
，所以
是滿同態。若
，則存在滿同態
，顯然
，則證畢。
(定理2.9.4)若
，則G可解
N和G/N均可解。
證明：由定理2.9.3知
成立。現設N和G/N均可解，來證明G可解。考慮滿同態
，由G/N的可解性可知有n使得
，即
，由N可解知
也可解，從而有m使得
。于是G可解。證畢。
現在我們給出可解群的另一種辨別方法。
(定義2.9.2)設群G的有限多個子群組成的子群列
。如果每個
均是
的正規子群，則稱它為正規列。如果正規列中
均是單群，則稱它為合成列。一個正規列叫做可解列，是指
均為Abel群。
(定理2.9.5)有限群G必有合成列。
證明：我們只需令每個
均是
的極大非平凡正規子群即可。假定存在
是
的極大非平凡正規子群，而
不是單群，則設其有非平凡正規子群H，顯然
，則
，那么由第二同構定理可得
，再由第三同構定理得
，所以
，這與
是
的極大非平凡正規子群矛盾。證畢。
(定理2.9.6)群G是可解群當且僅當G有可解列。
證明：充分性，若G可解，則有n使
。而
是正規列，由定理2.9.2知
均為Abel群，所以這是可解列。必要性，若G有可解列
，則
均為Abel群，由定理2.9.2知
，所以若有
，則有
，那么根據第一歸納法，若要證明
，則只需確保
，而由
知這是顯然的，所以
，即G是可解群。證畢。
(定理2.9.7)有限群G可解當且僅當G存在正規列
，使得
均是素數階循環群。
證明：充分性，檢查定義2.9.2我們可知在G的可解列中
均為Abel群，若
為單群，則證畢，所以
不是單群，根據定理2.8.1則必定存在正規子群
使得
為素數階循環群，再由定理2.9.5可知
，則只需考慮
的正規子群
，根據定理2.9.3，
是可解的，然后重復上述論證即可。必要性，這是顯然的，因為素數階循環群均為Abel群。證畢。
(定理2.9.8)每個非Abel單群都是不可解的。
證明：這是定理2.9.7的直接推論。
(定理2.9.9)當
時，
不可解。
證明：根據定理2.9.3的逆否命題可知若G存在子群不可解，則G不可解，而
為
的非Abel單子群，根據定理2.9.8，它不可解，所以
不可解。
(定理2.9.10)Burnside猜想：每個奇數階的有限群都是可解群。
證明：這個猜想在1963年由W.Feit和J.Thompson所證明，論文長達255頁。。。。所以這里就不放了。
本節完。
習題：
1.證明：若G為非Abel單群，則G'=G。
2.證明：
都是可解群。
3.證明：若p和q為素數，且
，則pq階群可解。
4.證明：
和
是可解群。
5.設p,q,r均為素數(不必不同)，試證pqr階群都是可解群。
6.證明：若群G有一個指數為4的正規子群,則G也有一個指數為2的正規子群。(提示：可以在作者的回答里找到)
總結
以上是生活随笔為你收集整理的6阶群的非平凡子群_简明算术教程——第二章 群——第9节 可解群的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 6阶群的非平凡子群_当|G|=8时,群l
- 下一篇： ITN网络课程笔记（十七）（完）