前面介紹了變分法與極小值原理的基礎思想，之后有一個非常重要的應用就是線性二次型的最優控制問題。假如系統是線性的，性能泛函是狀態變量與控制變量的二次型函數的積分，那么這樣的問題稱之為線性二次型最優控制問題。形如：

上式中，Q1為狀態加權矩陣，Q2為控制加權矩陣，Q0為終端加權矩陣。(有些書中把Q2矩陣寫作R矩陣)

在實際應用中，Q1，Q2是對稱矩陣并且常取對角陣。

在實際的應用中，第一項為 Lx = 1/2 * xT * Q1 * x，其中x表示狀態誤差，x越大，代價函數Lx越大，Q1的對角線上的元素q1i表示的是對應誤差分量xi的重視程度，越被重視的誤差分量，就希望它越小，相應的加權系數就取得越大：

例如上式，對x1更重視，就把q11設置得更大一點。

被積函數中的第二項 Lu = 1/2 * uT * Q2 * u，代表動態過程中對控制的約束與要求。一般就取單位陣就可以。

被積函數中的第三項突出了對終端誤差的要求，看自身需求來確定，在有些場合需要，在有些場合不需要。

對于一般的系統，如何進行求解？可以按照下面的步驟：

對于以上的一般系統，可以先構造哈密頓函數：

之后根據最優控制求出最優控制時的控制量u的表達式，之后根據正則方程，將最優的u帶入進去，得到一個最優軌跡的表達式以及λ：

之后引入一個新的矩陣P來表示λ與x的關系：λ = Px，之后便可以由P表示出最優控制率K，之后再將引入控制器的u帶入回原系統(此時u可以由x來表示，因此可以合并)，得到原系統的閉環表達式，之后便可以得到一個黎卡提方程：

以上只是演示一下推導的步驟，實際上當然不需要這么繁瑣，這個黎卡提方程也不需要我們每次都手算，由matlab，我們可以得到一個matlab推薦的值，不過這個黎卡提的一般求解方法也確實是一個世界難題。

實例：

假設我們有一個比較簡單的系統：x_dot = x + u，性能泛函就是線性二次型性能泛函的一般形式，那么按照這個步驟，便可以求出一個最優控制率：

其實使用matlab的話，是可以直接得到這個矩陣K的，之后代入就可以了，我自己做了一個簡單的sumilink模型來驗證一下：

按照那個方程畫出模型：

之后就可以看出最后的控制效果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【Matlab】线性二次型最优控制问题(LQR控制)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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