現代控制理論課程實驗三：一階倒立擺的LQR控制器設計

• 一、實驗目的
• 二、實驗設備與軟件
• 三、實驗原理
• • 3.1、被控對象模型及其線性化
  • 3.2、時不變線性連續系統的狀態反饋控制與線性二次型最優控制LQR
  • 3.3、實驗平臺的基本原理與使用指南
• 四、實驗內容
• • 4.1、MATLAB仿真結果
  • 4.2、MATLAB程序如下
  • 4.2.1、判斷系統的能控與能觀性
  • 4.2.2、求系統的極點
  • 4.2.3、進行極點配置
  • 4.3、線性二次型最優控制LQR求出配置極點
• 五、實驗室運行結果
• 六、實驗總結

一、實驗目的

1、理解并掌握線性狀態反饋控制的原理和方法；
2、理解并掌握LQR控制器設計方法；
3、練習控制性能比較與評估的方法。

二、實驗設備與軟件

實驗設備

• 倒立擺實驗臺

實驗軟件

• MATLAB軟件

三、實驗原理

3.1、被控對象模型及其線性化

倒立擺系統的各量含義與關系如下表和下圖。
根據牛頓定律建立系統垂直和水平方向的動力學方程，計及 u = F ，可得到

如下所示

該狀態方程輸入是加速度，輸出是小車位置和擺桿角度。而小車的位置和擺桿角度以及它們的導數均可以通過傳感器測量，所以在系統可控制的情況下，可以利用狀態反饋綜合控制器改善性能。

3.2、時不變線性連續系統的狀態反饋控制與線性二次型最優控制LQR

• 對時不變線性連續系統

3.3、實驗平臺的基本原理與使用指南

倒立擺系統的控制結構框圖如下

“Pendulum”模塊內部包含三種模塊，每種模塊的具體功能是通過S-Function實現的，這里不做介紹。其中“Set Car’s Vcc and Vel”模塊的作用是設置小車運動的速度和加速度，“Get Car’s Position”模塊的作用是讀取小車當前的實際位置，“Get Pend’s Angle”的作用是角度編碼器讀取擺桿當前擺起的實際角度，該角度順時針為“+”，逆時針為“-” （以豎直向下的狀態為起始狀態，見圖1）。這里需要注意的是，由于編碼器所讀脈沖的正負號與實際需要的數符號相瓣，所以編碼器輸出經過一個負的比例增益后轉化為輸出角度

另外，在Simulink中搭建系統模型時，需要將Inverted_Pendulum_RealTime_lib中的GT400-SV Initialization模塊放到編輯的模型中。

四、實驗內容

動手實驗與分析：

基于式(6)所示的倒立擺模型(控制擺角和位置)，根據原系統的特點設計LQR最優控制器，并分析參數 和 陣的選取對系統的影響。實物實驗前先進行理論分析計算(包括能控性分析和穩定性分析，指標轉化計算，可以編制相應的程序計算，也可以手算)，并在MATLAB/Simulink中進行離線數值計算分析，調整相關參數，合適后在倒立擺平臺上做在線實驗，比較仿真結果與實驗結果。

4.1、MATLAB仿真結果

系統的MATLAB/Simulink仿真圖如下

4.2、MATLAB程序如下

clear;A = [ 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0 ]; B = [ 0 1 0 3 ]'; C = [ 1 0 0 0; 0 0 1 0 ]; D = [ 0 0 ]';Gs = ss(A, B, C, D); Qc = ctrb(A, B); % 可控矩陣 Qo = obsv(A, C); % 可觀測矩陣 rankQc = rank(Qc); % 求可控矩陣的秩 rankQo = rank(Qo); % 求可控矩陣的秩if rankQc == 4disp('系統可控'); elsedisp('系統不可控'); endif rankQo == 4disp('系統可觀'); elsedisp('系統不可觀'); end

4.2.1、判斷系統的能控與能觀性

判斷系統的能控與能觀性運行如下

>> shiYan3 系統可控 系統可觀

• 由運行結果可知，系統可控、客觀。

4.2.2、求系統的極點

求系統的極點的代碼如下

P = poly(A); % 特征多項式 rootP = roots(P); % 極點 disp(rootP);

求系統的極點運行結果如下

>> shiYan3 系統可控 系統可觀005.4222-5.4222

• 可以知道系統有一個極點在右邊，系統不穩定。

4.2.3、進行極點配置

ζ=0.8、ζ=0.707、ζ=0.316
設計狀態反饋陣時，要使系統的極點設計成具有兩個主導極點，兩個非主導極點，這樣就可以用二階系統的分析方法進行參數的確定。我們設置系統的最大超調量小于等于8%，調節時間為小于等于5 S。運用超調量的計算公式可以計算出ε= 0.63；ts=5s，可以求得Wn≥0.95。用極點公式為P1,2=-εw + iw√1-εz,得到兩個配置的共軛極點為: -0.6士0.74i。選取非主導極點距虛軸的距離為主導極點距虛軸的距離的5倍以上：所以可以兩個非主導極點為：-10。

進行極點配置MATLAB程序代碼如下：

p = [-0.6 + 0.74j -0.6 - 0.74j -10 -10]; % 極點配置 K = acker(A, B, p); disp(K);

進行極點配置運行如下

-3.0871 -4.6990 52.4649 8.6330

MATLAB仿真如下

• 由仿真結果可知，系統的調節時間5s左右，系統的擺桿最終穩定在0的位置。

4.3、線性二次型最優控制LQR求出配置極點

線性二次型最優控制LQR求出配置極點代碼如下所示

% 線性二次型最優控制LQR求出配置極點 Q = [1000 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 1000 0; 0 0 0 0]; R = 1; LQR_K = lqr(A, B, Q, R); disp(LQR_K);

線性二次型最優控制LQR求出配置極點運行如下

-31.6228 -21.7963 83.4140 14.2355

線性二次型最優控制LQR求出配置極點MATLAB仿真如下

• 由仿真結果可知，線性二次型最優控制LQR求出配置極點，使系統的調節時間降低到了2s，擺桿的擺動幅度更小。

五、實驗室運行結果

在實驗室進行實物倒立擺的控制，設計的控制模型與系統的運行結果如下

控制系統模型

系統正常運行的效果圖

系統在擾動下的運行結果

六、實驗總結

一階倒立擺的LQR控制器設計的實驗總結如下幾點所示

• 1、通過實驗，理解并掌握了線性狀態反饋控制的原理和方法。運用狀態反饋可以配置系統的極點到任意的位置。
• 2、理解并掌握LQR控制器設計方法。
• 3、通過實驗掌握了利用狀態反饋配置極點的前提：對系統進行能控與能觀性的判斷。
• 4、通過實驗，加強了動手實踐與理論相結合的能力。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的现代控制理论课程实验三：一阶倒立摆的LQR控制器设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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