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概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.1

發(fā)布時(shí)間：2023/12/14 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.1 小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

2.1 一維隨機(jī)變量

2.1.1 隨機(jī)變量的概念

所謂隨機(jī)變量,就是其值隨機(jī)會而定的變量.例如骰子的點(diǎn)數(shù)X,在試驗(yàn)前無法確定它將取何值,但一旦試驗(yàn)結(jié)束,點(diǎn)數(shù)就確定了.而與之相對的就是確定變量,其取值遵循某種嚴(yán)格的規(guī)律,在試驗(yàn)前就能準(zhǔn)確預(yù)知出來.例如骰子自由落體的距離H,我不需要進(jìn)行試驗(yàn)就可根據(jù)自由落體定律計(jì)算出每個(gè)時(shí)刻對應(yīng)的落體高度。

第一章提到的隨機(jī)事件，實(shí)際上是包含隨機(jī)變量這個(gè)更廣泛的范圍之內(nèi)。例如事件:骰子的點(diǎn)數(shù)大于等于3可以用 ${X≥3}\{X\ge 3\}$ 表示。更進(jìn)一步的，我們可以使用指示變量Y。

隨機(jī)變量又可以分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量。

2.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布及其重要例子

設(shè) $X$ 為離散型隨機(jī)變量, 其全部可能值為 ${a1\left\{a_{1}\right.$ , $a2?}\left.a_{2} \cdots\right\}$ . 則
$pi=P(X=ai),i=1,2,?p_{i}=P\left(X=a_{i}\right), i=1,2, \cdots$
稱為 $X$ 的概率函數(shù).

顯然有
$pi?0,p1+p2+?=1p_{i} \geqslant 0, p_{1}+p_{2}+\cdots=1$
概率函數(shù)也稱為 $X$ 的概率分布,其還有如下兩種表現(xiàn)形式.

設(shè) $X$ 為一隨機(jī)變量,則函數(shù)
$\leqslant x)=F(x),-\infty<x<\infty$
稱為 $X$ 的分布函數(shù)

對任何隨機(jī)變量 $X$ , 其分布函數(shù) $F (x)$ 具有下面的一般性質(zhì):

1. $F (X)$ 是單調(diào)非降的: 當(dāng) $(x1<x2)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ 時(shí), 有 $F(x1)?F(x2)F\left(x_{1}\right) \leqslant F\left(x_{2}\right)$ .
2. 當(dāng) $\rightarrow \infty$ 時(shí), $\rightarrow 1$ ; 當(dāng) $\rightarrow-\infty$ 時(shí), $\rightarrow 0$ ,

下面介紹常見的離散型隨機(jī)變量的分布

二項(xiàng)分布

若隨機(jī)變量 $X$ 的概率函數(shù)為
$pk=P(X=k)=Cnkpkqn?k,k=0,1,?,np_{k}=P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}, k=0,1, \cdots, n$
其中 $0 < p < 1, q = 1 ? p$ , 則稱 $X$ 服從參數(shù)為 $n, p$ 的二項(xiàng)分布, 記為 $\sim B(n, p)$

這個(gè)分布的現(xiàn)實(shí)意義為從有放回的抽查 $n$ 個(gè)元件，元件次品率為 $p$ ，檢查出次品的個(gè)數(shù)為 $X$ 。

下面討論當(dāng) $k$ 取何值時(shí)概率有最大值。

當(dāng)

(n + 1) p

為整數(shù)時(shí),

p_{k}

在

k = (n + 1) p ? 1

和

k = (n + 1) p

達(dá)到最大,

當(dāng)

(n + 1) p

不是整數(shù)時(shí),

p_{k}

在

k = [(n + 1) p]

達(dá)到最大。其中,

[x]

表示不超過

x

的最大整數(shù)。

泊松分布

如果隨機(jī)變量 $X$ 的概率函數(shù)為
$pk=P(X=k)=λkk!e?λ,k=0,1,2,?p_{k}=P(X=k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2, \cdots$
其中 $λ>0\lambda>0$ 為常數(shù), 則稱 $X$ 服從參數(shù)為 $λ\lambda$ 的泊松分布, 記為 $\sim P(\lambda)$ 。

這個(gè)分布的現(xiàn)實(shí)意義為描述大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)概率模型。

泊松分布可以作為二項(xiàng)分布的極限而得到。一般地說,若 $\sim B(n, p)$ , 其中 $n$ 很大, $p$ 很小而 $p=\lambda$ 不太大時(shí),則 $X$ 的分布接近于泊松分布 $P(λ).P(\lambda) .$

為了幫助直觀理解這個(gè)結(jié)論，陳希孺給出了一個(gè)例子：在一定時(shí)間內(nèi)某交通路口所發(fā)生的事故個(gè)數(shù)。

為方便計(jì),設(shè)所觀察的這段時(shí)間為 $[0, 1)$ . 取一個(gè)很大的自然數(shù) $n$ , 把時(shí)間段 $[0, 1)$ 分為等長的 $n$ 段：
$l1[0,1n),l2=[1n,2n),?,li=[i?1n,in),?ln=[n?1n,1)\begin{aligned} l_{1}\left[0, \frac{1}{n}\right), l_{2} &=\left[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right), \cdots, l_{i}=\left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right), \cdots \\ l_{n} &=\left[\frac{n-1}{n}, 1\right) \end{aligned}$
作幾個(gè)假定：

在每段 $l_{i}$ 內(nèi),恰發(fā)生一個(gè)事故的概率,近似地與這段時(shí) 間之長 $1n\frac{1}{n}$ 成正比,即可取為 $λ/n.\lambda / n .$ 又假定在 $n$ 很大因而 $1 / n$ 很小時(shí),在 $l_{i}$ 這么短暫的一段時(shí)間內(nèi),要發(fā)生兩次或更多的事故是不可能的. 因此,在 $l_{i}$ 時(shí)段內(nèi)不發(fā)生事故的概率為 $1 ? 1 / n$ .而這體現(xiàn)了事件的稀有性。

$l1,?,lnl_{1}, \cdots, l_{n}$ 各段是否發(fā)生事故是獨(dú)立的.

根據(jù)以上假定, $X$ 應(yīng)服從二項(xiàng)分布 $\lambda / n)$ . 于是
$P(X=i)=(ni)(λn)i(1?λn)n?iP(X=i)=\left(\begin{array}{l} n \\ i \end{array}\right)\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{i}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-i}$

將 $n$ 取極限即可推出泊松分布。

超幾何分布

如果隨機(jī)變量 $X$ 的概率函數(shù)為

$P(X=m)=(Mm)(N?Mn?m)/(Nn)P(X=m)=\left(\begin{array}{l}M \\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-M \\ n-m\end{array}\right) /\left(\begin{array}{l}N \\ n\end{array}\right)$

則稱 $X$ 服從超幾何分布。

該分布的現(xiàn)實(shí)意義為無放回的抽樣。若 $n / N$ 很小,則放回與不放回差別不大. 由此可見,在這種情況下超幾何分布應(yīng)與二項(xiàng)分布很接近. 確切地說,若 $X$ 服從超幾何分布則當(dāng) $n$ 固定, $M / N = p$ 固定, $\rightarrow \infty$ 時(shí), $X$ 近似地服從二項(xiàng)分布 $B (n, p)$

負(fù)二項(xiàng)分布

如果隨機(jī)變量 $X$ 的概率函數(shù)為

$p=\left(\begin{array}{c}i+r-1 \\ r-1\end{array}\right) p^{r}(1-p)^{i}$

則稱 $X$ 服從負(fù)二項(xiàng)分布。

該分布的現(xiàn)實(shí)意義為同樣為抽樣檢查，不過不同的是預(yù)先定一個(gè)數(shù) $r$ ，一個(gè)一個(gè)地元件中抽樣檢查,直到發(fā)現(xiàn)第 $r$ 個(gè)次品為止.以 $X$ 記到當(dāng)時(shí)為止已檢出的合格品個(gè)數(shù).

當(dāng) $r = 1$ 時(shí)， $P(X=i)=p(1-p)^{i}$ 。這稱為幾何分布。

2.1.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及重要例子

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布與離散型大不相同。例如，如在靶面上指定一個(gè)幾何意義下的點(diǎn)(即只有位置而無任何向度),則 “射擊時(shí)正好命中該點(diǎn)”的概率,也只能取為 0 .那么參照離散型用 $P (X = i)$ 刻畫就毫無意義。

為了刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，我們引入了概率密度函數(shù)：

設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量 $X$ 有概率分布函數(shù) $F (x)$ , 則 $F (x)$ 的導(dǎo)數(shù) $f(x)=F′(x)f(x)=F^{\prime}(x)$ , 稱為 $X$ 的概率密度函數(shù).

連續(xù)型隨機(jī)變量 $X$ 的密度函數(shù) $f (x)$ 都具有以下三條基本性質(zhì)：

1. $\geqslant 0$
2. $∫?∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrmozvdkddzhkzd x=1$

對任何常數(shù)

a < b

有

$\leqslant X \leqslant b)=F(b)-F(a)=\int_{a}^(x) \mathrmozvdkddzhkzd x$

有了概率密度函數(shù)這個(gè)工具后，下面介紹常見的連續(xù)性隨機(jī)變量分布。

正態(tài)分布

若隨機(jī)變量 $X$ 的密度函數(shù)為
$p(x)=12πσe?(x?μ)22σ2,?∞<x<∞p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, \quad-\infty<x<\infty$
其中 $μ,σ(>0)\mu, \sigma(>0)$ 為常數(shù), 則稱 $X$ 服從參數(shù)為 $μ,σ2\mu, \sigma^{2}$ 的正態(tài)分布, 記為 $\sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$

正態(tài)分布的現(xiàn)實(shí)意義為一般事物常為中間多兩頭少的分布，例如一群人的身高或體重。

當(dāng) $μ=1,σ2=1\mu=1, \sigma^{2}=1$ 時(shí), 便成為
$f(x)=e?x2/2/2πf(x)=\mathrm{e}^{-x^{2} / 2} / \sqrt{2 \pi}$
它是正態(tài)分布 $N (0, 1)$ 的密度函數(shù). 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常分別記為 $φ(x)\varphi(x)$ 和 $Φ(x)\Phi(x)$ ,

若 $\sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ , 則 $Y=(X?μ)/σ～N(0,1)Y=(X-\mu) / \sigma \sim N(0,1)$

指數(shù)分布

若隨機(jī)變量 $X$ 的概率密度函數(shù)為
$p(x)={λe?λxx?00x<0p(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x} & x \geqslant 0 \\ 0 & x<0 \end{array}\right.$
其中 $λ>0\lambda>0$ 為常數(shù), 則稱 $X$ 服從參數(shù)為 $λ\lambda$ 的指數(shù)分布, 記為 $\sim E(\lambda)$ 。 $X$ 的分布函數(shù)為
$F(x)={1?e?λxx?00其他?F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-\lambda x} & x \geqslant 0 \\ 0 & \text { 其他 } \end{array}\right.$
該分布的現(xiàn)實(shí)意義為一批無老化元件的壽命。“無老化”.就是說:“元件在時(shí)刻 $x$ 尚能正常工作的條件下,其失效率總保持為某個(gè)常數(shù) $λ>0\lambda>0$ , 與 $x$ 無關(guān)”.

威布爾分布

元件無老化在現(xiàn)實(shí)中是不可能的。失效率 $p$ 應(yīng)取為一個(gè) $x$ 的增函數(shù),例如 $λxm\lambda x^{m}$

此時(shí)便得到威布爾分布。

其分布函數(shù)為
$F(x)=1?e?(λ/m+1)xn+1F(x)=1-\mathrm{e}^{-(\lambda / m+1) x^{n+1}}$

取 $α=m+1(α>1)\alpha=m+1(\alpha>1)$ , 并把 $λ/(m+1)\lambda /(m+1)$ 記為 $λ\lambda$ , 得出
$F(x)=1?e?λxn,x>0F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x^{n}}, x>0$

而 $F (x) = 0$ 當(dāng) $\leqslant 0$ . 此分布之密度函數(shù)為

$f(x)={λaxa?1e?λxa,x>00,x?0f(x)=\left\{\begin{array}{lr} \lambda a x^{a-1} \mathrm{e}^{-\lambda x^{a}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{array}\right.$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.1的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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