機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論第二章

我們定義的位姿都是通過(guò)世界坐標(biāo)系定義的笛卡爾坐標(biāo)系。

點(diǎn)的位置可以用矢量描述；物體的姿態(tài)可以用固定在物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述，用一個(gè)矩陣來(lái)表示。
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旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置。旋轉(zhuǎn)矩陣是單位陣。

位置和姿態(tài)經(jīng)常成對(duì)出現(xiàn)，因此將其稱作坐標(biāo)系，四個(gè)矢量為一組，表示了位置和姿態(tài)的信息。一個(gè)矢量指向位置，另外三個(gè)矢量表示姿態(tài)，等價(jià)于一個(gè)坐標(biāo)系可以用一個(gè)位置矢量和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣描述。如果位置矢量是零矢量，那它表示的就是姿態(tài)。

2.3映射：從坐標(biāo)到坐標(biāo)軸的變換。
不同坐標(biāo)系中的矢量只有在坐標(biāo)系的姿態(tài)相同這種情況下才可以相加。
平移坐標(biāo)系的映射:（在姿態(tài)相同的情況下才可以平移）
（1）

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射：
旋轉(zhuǎn)矩陣：坐標(biāo)系B對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的三個(gè)單位方向向量作為列向量組成的3x3矩陣

問(wèn)題根據(jù)題目寫出坐標(biāo)系B的旋轉(zhuǎn)矩陣：矩陣的由三個(gè)單位列向量組成，且第一個(gè)向量是B坐標(biāo)系x軸相對(duì)于A坐標(biāo)系的 單位 向量。

對(duì)于一般情況，我們將求一個(gè)中間坐標(biāo)系T使其和姿態(tài)坐標(biāo)系A(chǔ)相同，原點(diǎn)和坐標(biāo)系B相同，再運(yùn)用以上關(guān)系求出映射。
（2）
由上似引出新的形式：
（3）
即用矩陣形式的算子表示了一個(gè)坐標(biāo)系到另一個(gè)坐標(biāo)系的映射。
為了用（3）的矩陣算子的形式寫出（2）式，定義一個(gè)4x4的矩陣算子并使用了4x1位置矢量，這樣（3）就變成了：
（4）
其中 等式中4x4的矩陣為齊次變換矩陣。

2.4 算子： 平移、旋轉(zhuǎn)和變換

• 用于坐標(biāo)系間點(diǎn)的映射的通用數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為算子，包括點(diǎn)的平移算子、矢量旋轉(zhuǎn)算子和平移加旋轉(zhuǎn)算子。

平移算子：

（AP1沿AQ矢量方向移動(dòng)，得到一個(gè)新的矢量）
(1)
用矩陣算子寫出：
（2）
其中：

矢量q為平移矢量AQ。矢量AQ的方向決定了AP1的移動(dòng)方向，決定式子中的符號(hào)變化。

旋轉(zhuǎn)算子:同2.3

旋轉(zhuǎn)算子R表示繞k軸旋轉(zhuǎn)theta角度。
注意是向前旋轉(zhuǎn)還是向后旋轉(zhuǎn)，反向若不同需用旋轉(zhuǎn)算子的逆。

2.5 總結(jié)

• 一個(gè)4x4的齊次變換陣包含旋轉(zhuǎn)與位置信息，相當(dāng)于一個(gè)是矢量旋轉(zhuǎn)和平移的變換算子。
• 齊次變換陣是坐標(biāo)系的描述、是變換的映射、是變換算子。

2.6 變換算法
混合變換:

逆變換：

2.7 變換方程
若已知以下兩個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)關(guān)系


可得出：

若只有一個(gè)未知量，則可通過(guò)其它變換求出：

2.8 姿勢(shì)的其它描述方法
旋轉(zhuǎn)矩陣也可被稱為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣，行列式為+1（非標(biāo)準(zhǔn)為-1）

用少于9個(gè)數(shù)字來(lái)表示一個(gè)姿態(tài)（正交矩陣的凱萊公式）
X-Y-Z固定角坐標(biāo)系：首先將坐標(biāo)系{B}和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系{A}重合。先將{B}繞X軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角。每個(gè)旋轉(zhuǎn)都是繞著固定參考坐標(biāo)系{A}的軸。我們規(guī)定這種姿勢(shì)的表示法為X-Y-Z固定角坐標(biāo)系。有時(shí)把它們定義為回轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏轉(zhuǎn)角。
可直接推導(dǎo)出等價(jià)的旋轉(zhuǎn)矩陣

（1）
其中cα為cosα的簡(jiǎn)寫，以此類推。最重要的是搞清楚（1）式中的旋轉(zhuǎn)順序。
由（1）可推出結(jié)果：
（2）

逆解問(wèn)題：根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣求出等價(jià)X-Y-Z固定角坐標(biāo)系

要求出對(duì)應(yīng)固定角坐標(biāo)系需要三個(gè)方程三個(gè)變量：

雖然存在第二個(gè)解，但在上式中取β的正根以得到單解，滿足**-90°≤β≤90°**。這樣就可以在各種姿態(tài)表示法之間定義一一對(duì)應(yīng)的的映射函數(shù)。

Z-Y-X歐拉角：首先將坐標(biāo)系{B}和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系{A}重合。先將{B}繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞X軸旋轉(zhuǎn)γ角。**在這種表示方法中，每次都是繞運(yùn)動(dòng)參考系{B}的各軸旋轉(zhuǎn)而不是繞固定坐標(biāo)系{A}的各軸旋轉(zhuǎn)。**這樣三個(gè)一組的旋轉(zhuǎn)被稱為歐拉角。

計(jì)算結(jié)果與以相反順序繞固定軸旋轉(zhuǎn)三次得到的結(jié)果完全相同。
三次繞固定軸的最終姿態(tài)和以相反順序三次繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)相同。

Z-Y-Z歐拉角：首先將坐標(biāo)系{B}和一個(gè)已知參考坐標(biāo)系{A}重合。先將{B}繞Z軸{B}旋轉(zhuǎn)α角，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ角。

如果sinβ ≠ 90°可得到：

雖然存在第二個(gè)解，但我們總是滿足0.0≤β≤180.0°的單解。
如果β=0.0，則解為：

如果β=180.0°，則解為；

其它坐標(biāo)系表示方法:見(jiàn)附錄B（24種）

總結(jié)

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