行列式

一個(gè)n*n的正方矩陣A的行列式記作或，定義為：

若，則它的行列式由給出。

矩陣A去掉第i行和第j列之后得到的剩余行列式記作，稱為元素的余子式，特別地，時(shí)，稱為A的主子式，若令是n*n矩陣A刪去第i行和第j列之后得到的（n-1）*(n-1)子矩陣，則

一個(gè)n*n矩陣的行列式等于其任意行（或列）的元素與相對(duì)應(yīng)的余子式的乘積之和，即：

或者：

因此，行列式需要遞推計(jì)算：n階行列式由（n-1）階行列式計(jì)算，（n-1）階行列式又由（n-2）行列式計(jì)算等。

行列式計(jì)算結(jié)果若不為零，則被稱為非奇異矩陣，非奇異矩陣A存在逆矩陣。

行列式服從以下等式關(guān)系：

• 若矩陣的兩行（或列）互換位置，行列式的值不變。
• 若矩陣的某行（或列）是其他行（或列）的線性組合，則。
• 若某行（或列）與另一行（或列）成正比或者相等，或者某行（或列）的元素均等于零。則
• 任意正方矩陣A和它的轉(zhuǎn)置矩陣具有相同的行列式，即
• 單位矩陣的行列式的值為1。
• 一個(gè)Hermitian矩陣的行列式為實(shí)數(shù)，因?yàn)?#xff1a;
• 兩個(gè)矩陣乘積的行列式的值等于他們的行列式的值的乘積，即：
• 對(duì)于一個(gè)三角（上三角或下三角）矩陣A，其行列式的值等于三角矩陣主對(duì)角線所有元素的乘積，即：;對(duì)角矩陣的行列式的值等于其對(duì)角元素的乘積。
• 給定一個(gè)任意常數(shù)（可以是復(fù)數(shù)）c，則
• 若A非奇異，則
• 對(duì)于矩陣，分塊矩陣的行列式滿足：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A非奇異時(shí)，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或當(dāng)D非奇異時(shí)，

行列式滿足以下不等式關(guān)系：

• ?若A，B都是m*n的矩陣，則：

• 對(duì)于m*m矩陣A,有：

• 若，則：

矩陣的秩

在p維向量的集合之中，最多存在p個(gè)線性無關(guān)的向量。

矩陣的線性無關(guān)行數(shù)與線性無關(guān)列數(shù)相同。

矩陣的秩定義為該矩陣中線性無關(guān)的行（或列）的數(shù)目。

根據(jù)秩的大小，矩陣方程可分成以下三種類型：

• 適定方程：適定表示方程組的解是唯一的，若m=n，并且矩陣A非奇異，則稱矩陣方程為適定方程。
• 欠定方程：欠定表示獨(dú)立方程個(gè)數(shù)比獨(dú)立的未知參數(shù)的個(gè)數(shù)少，意味著方程個(gè)數(shù)不足以確定方程的唯一解，即存在無窮多組解。
• 超定方程：超定表示獨(dú)立方程個(gè)數(shù)比獨(dú)立的未知參數(shù)的個(gè)數(shù)多，沒有使得方程組嚴(yán)格滿足的精確解。

矩陣A的列空間R(A)的維數(shù)定義為該矩陣的秩，即有：

關(guān)于矩陣A的秩有以下等價(jià)敘述：

• rank(A)=k
• A的k列且不多于k列組成一線性無關(guān)組。
• A的k行且不多于k行組成一線性無關(guān)組。
• A的一個(gè)k*k的子矩陣有非零行列式，A的所有（k+1）*（k+1）子矩陣都具有零行列式。
• 列空間R(A)的維數(shù)等于k。

令和，則乘積矩陣AB的秩滿足不等式：

m*n矩陣A左乘非奇異矩陣或右乘非奇異矩陣，將不改變A的秩。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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