行列式

一個n*n的正方矩陣A的行列式記作或，定義為：

若，則它的行列式由給出。

矩陣A去掉第i行和第j列之后得到的剩余行列式記作，稱為元素的余子式，特別地，時，稱為A的主子式，若令是n*n矩陣A刪去第i行和第j列之后得到的（n-1）*(n-1)子矩陣，則

一個n*n矩陣的行列式等于其任意行（或列）的元素與相對應的余子式的乘積之和，即：

或者：

因此，行列式需要遞推計算：n階行列式由（n-1）階行列式計算，（n-1）階行列式又由（n-2）行列式計算等。

行列式計算結果若不為零，則被稱為非奇異矩陣，非奇異矩陣A存在逆矩陣。

行列式服從以下等式關系：

• 若矩陣的兩行（或列）互換位置，行列式的值不變。
• 若矩陣的某行（或列）是其他行（或列）的線性組合，則。
• 若某行（或列）與另一行（或列）成正比或者相等，或者某行（或列）的元素均等于零。則
• 任意正方矩陣A和它的轉置矩陣具有相同的行列式，即
• 單位矩陣的行列式的值為1。
• 一個Hermitian矩陣的行列式為實數，因為：
• 兩個矩陣乘積的行列式的值等于他們的行列式的值的乘積，即：
• 對于一個三角（上三角或下三角）矩陣A，其行列式的值等于三角矩陣主對角線所有元素的乘積，即：;對角矩陣的行列式的值等于其對角元素的乘積。
• 給定一個任意常數（可以是復數）c，則
• 若A非奇異，則
• 對于矩陣，分塊矩陣的行列式滿足：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A非奇異時，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或當D非奇異時，

行列式滿足以下不等式關系：

• ?若A，B都是m*n的矩陣，則：

• 對于m*m矩陣A,有：

• 若，則：

矩陣的秩

在p維向量的集合之中，最多存在p個線性無關的向量。

矩陣的線性無關行數與線性無關列數相同。

矩陣的秩定義為該矩陣中線性無關的行（或列）的數目。

根據秩的大小，矩陣方程可分成以下三種類型：

• 適定方程：適定表示方程組的解是唯一的，若m=n，并且矩陣A非奇異，則稱矩陣方程為適定方程。
• 欠定方程：欠定表示獨立方程個數比獨立的未知參數的個數少，意味著方程個數不足以確定方程的唯一解，即存在無窮多組解。
• 超定方程：超定表示獨立方程個數比獨立的未知參數的個數多，沒有使得方程組嚴格滿足的精確解。

矩陣A的列空間R(A)的維數定義為該矩陣的秩，即有：

關于矩陣A的秩有以下等價敘述：

• rank(A)=k
• A的k列且不多于k列組成一線性無關組。
• A的k行且不多于k行組成一線性無關組。
• A的一個k*k的子矩陣有非零行列式，A的所有（k+1）*（k+1）子矩陣都具有零行列式。
• 列空間R(A)的維數等于k。

令和，則乘積矩陣AB的秩滿足不等式：

m*n矩陣A左乘非奇異矩陣或右乘非奇異矩陣，將不改變A的秩。

總結

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