文章目錄

• 均勻分布和指數(shù)分布
• • 均勻分布的定義
  • • 性質(zhì)：均勻分布具有等可能性
    • 均勻分布的概率計(jì)算
  • 指數(shù)分布的定義
  • • 性質(zhì)：指數(shù)分布具有無(wú)記憶性

均勻分布和指數(shù)分布

均勻分布的定義

若 $X$ 的概率密度函數(shù)為

$$f(x)=?\begin{array}{ll}\frac{1}{b?a},& x\in (a,b);\\ 0,& \text{其他.}\end{array}$$

其中 $a<b$，就稱(chēng) $X$ 服從 $(a,b)$ 上的均勻分布（$Uniform$），

記為 $X～U(a,b)$ 或 $X～Unif(a,b)$.

其中

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c,& x\in (a,b);\\ 0,& \text{其他.}\end{array}$$

$$\because {\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1,即{\int }_a^{b}c\mathrm{d}x=1?c=1/(b?a)$$

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性質(zhì)：均勻分布具有等可能性

即，對(duì)于任意的 $a<k<k+l<b$，均有

$$P(k<X<k+l)={\int }_k^{k+l}\frac{1}{b?a}\mathrm{d}t=\frac{l}{b?a}?與k無(wú)關(guān)，僅與l有關(guān)。$$

即，服從 $U(a,b)$ 上的均勻分布的隨機(jī)變量 $X$ 落入 $(a,b)$ 種的任意子區(qū)間上的概率只與其區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)與區(qū)間所處的位置無(wú)關(guān)。

即，$X$ 落入 $(a,b)$ 中的等長(zhǎng)度的任意子區(qū)間上是等可能的。

若 $X～U(a,b)$，則 $P(a<X<b)=1$.

且分布函數(shù)為

$$F(x)=?\begin{array}{ll}0,& x<a;\\ \frac{x?a}{b?a},& a\le x<b;\\ 1,& x\ge b.\end{array}$$

$\because$ 當(dāng) $a\le x<b$ 時(shí)， $F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^x\frac{1}{b?a}\mathrm{d}t=\frac{x?a}{b?a}$

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例 1： 在區(qū)間 (-1,2) 上隨機(jī)取一數(shù) $X$，求：（1）試寫(xiě)出 $X$ 的概率密度函數(shù)；（2）概述在 (-0.5,1) 的概率；（3）該數(shù)為正數(shù)的概率。

解：

（1） $X$ 應(yīng)在區(qū)間 (-1,2) 服從均勻分布，故 $X$ 的概率密度函數(shù)為

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1/3,& x\in (?1,2);\\ 0,& \text{其他.}\end{array}$$

（2）
$$P(?0.5<X<1)={\int }_{0.5}^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{0.5}^1\frac{1}{3}\mathrm{d}x=\frac{1?(?0.5)}{3}=\frac{1}{2}$$

可以看到 分子 1-(-0.5) 其實(shí)是 (-0.5, 1) 的長(zhǎng)度，而分母是 (-1, 2)的長(zhǎng)度。

（3）

$$P(X>0)={\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{1}{3}\mathrm{d}x=\frac{2?0}{3}.$$

這里同樣可以看出 分子相當(dāng)于 $(0,+\infty )?(?1,2)=(0,2)$ 的長(zhǎng)度，分母是 (-1, 2) 的長(zhǎng)度。

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均勻分布的概率計(jì)算

若 $X～U(a,b)$，則對(duì)于 $?I?R$，有

方法一：$P(X\in I)={\int }_{I}f(x)\mathrm{d}x$

方法二：$P(X\in I)=\frac{I?(a,b)的長(zhǎng)度}{(a,b)的長(zhǎng)度}$

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指數(shù)分布的定義

若 $X$ 的概率密度函數(shù)為

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{?\lambda x},& x>0;\\ 0,& x\le 0,\end{array}$$

其中 $\lambda >0$，就稱(chēng) $X$ 服從參數(shù)為 $\lambda$ 的指數(shù)分布($Exponential$)，

記為 $X～E(\lambda )$ 或 $X～Exp(\lambda )$.

分布函數(shù)為

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1?e^{?\lambda x},& x>0;\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

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性質(zhì)：指數(shù)分布具有無(wú)記憶性

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1?e^{?\lambda x},& x>0;\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

對(duì)于 $t_0>0,t>0$,

$$\begin{array}{rl}P(X>t_0+t|X>t_0)& =\frac{P(X>t_0+t,X>t_0)}{P(X>t_0}\\ & =\frac{P(X>t_0+t)}{P(X>t_0)}=\frac{1?F(t_0+t)}{1?F(t_0)}\\ & =\frac{e^{?\lambda (t_0+t)}}{e^{?\lambda t_0}}=e^{?\lambda t}=P(X>t)\end{array}$$

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例 2： 設(shè)某人電話通話時(shí)間 $X$ （分鐘）服從指數(shù)分布，概率密度為

$$f(x)=?\begin{array}{ll}\frac{1}{15}{e}^{?\frac{x}{15}},& x>0;\\ & \\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

求：
（1）她的通話時(shí)間在 10~20 分鐘之間的概率；
（2）若她已打了 10 分鐘，求她繼續(xù)通話超過(guò) 15 分鐘的概率（即，若她已打了 10 分鐘，求她總共通話超過(guò) 25 分鐘的概率）

解：

由概率密度

$$f(x)=?\begin{array}{ll}\frac{1}{15}{e}^{?\frac{x}{15}},& x>0;\\ & \\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

得出分布函數(shù)為

$$F(x)=?\begin{array}{ll}1?e^{?\frac{x}{15}},& x>0;\\ & \\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

（1）

$$P(10<x<20)={\int }_{10}^{20}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{15}{\int }_{10}^{20}{e}^{?\frac{x}{15}}\mathrm{d}x=e^{?\frac{2}{3}}?e^{?\frac{4}{3}}$$

或者利用分布函數(shù)

$$P(10<X<20)=F(20)?F(10)=1?e^{?\frac{20}{15}}?(1?e^{?\frac{10}{15}})=e^{?\frac{2}{3}}?e^{?\frac{4}{3}}$$

（2）根據(jù)無(wú)記憶性，

$$P(X>25|X<10)=P(X>15)={\int }_{15}^{\infty }\frac{1}{15}{e}^{?\frac{x}{15}}\mathrm{d}x=e^{?1}$$

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例 3： 設(shè)一地段相鄰兩次交通事故的間隔時(shí)間（小時(shí)） $X$ 服從參數(shù)為 2/13 的指數(shù)分布。求：已知在已過(guò)去的 13 小時(shí)中沒(méi)有發(fā)生交通事故 ，那么在未來(lái)的 2 小時(shí)內(nèi)不發(fā)生交通事故的概率。

解：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1?e^{?\lambda x},& x>0;\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

已知 $X～E(\lambda ),\lambda =2/13$.

$P(X>15|X>13)=P(X>2)=1?F(2)=e^{?\frac{2}{13}?2}=e^{?\frac{4}{13}}$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的13. 均匀分布和指数分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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