積分域為橢球的三重積分的求解方式

• 🐵使用場景
• 🐵橢圓域如何使用極坐標(biāo)法
• 總結(jié)

🐵使用場景

當(dāng)我們再進行三重積分的時候，我們時常遇到積分域為橢圓的情況，例如
$$(x/2{)}^2+y^2+(z?1{)}^2=1$$
我們平時使用極坐標(biāo)法的時候，我們都是在球域下令
$$x=r?sin(\phi )?cos(\theta )$$
$$y=r?sin(\phi )?sin(\theta )$$
$$z=r?cos(\phi )$$
然后令：$$dv=r^2?sin(\phi )?dr?d\phi ?d\theta$$
將所有x，y，z轉(zhuǎn)化為上述的極坐標(biāo)形式。然后就可以求解。

🐵橢圓域如何使用極坐標(biāo)法

我們可以利用廣義的極坐標(biāo)變換來進行代換！🧙?♀?🧙?♂?🧙

那么廣義的極坐標(biāo)變換是什么呢?🙆?♀?🙆?♂?🙆

廣義極坐標(biāo)有些類似于換元法，將某一部分看作一個整體，從而對該整體進行極坐標(biāo)變換。例如橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，將(x/a)和(y/b)分別看作一個整體，這時利用極坐標(biāo)變換，令x/a =rcosθ，y/b=rsinθ

接下來我們以為例子說明
$$(x/a{)}^2+(y/b{)}^2+(z/c{)}^2=1$$
我們不難看出,其實橢圓域下的極坐標(biāo)表達式,就是利用了換元的思想,將u=x/a,v =y/b,w=z/c

然后我們可以得到
$$u^2+v^2+w^2=1$$
這不就標(biāo)準(zhǔn)的球域么😺😺😺!那么接下來就是令
$$u=r?sin(\phi )?cos(\theta )$$
$$v=r?sin(\phi )?sin(\theta )$$
$$w=r?cos(\phi )$$
然后我們可以得到:
$$dv=a?b?c?r^2?sin(\phi )?dr?d\phi ?d\theta$$
其實也就是乘上了各自的系數(shù)

接下來的就是純數(shù)學(xué)計算了🐵

ps:如果出現(xiàn)了
$$(x?4{)}^2+......$$
這一類存在平移的現(xiàn)象,同理也是得到u,v,w,只不過u=(x-4)而已(實際上,如果只是有平移的話,對于dv沒影響,只要令x-4=r*cos(θ)即可)

總結(jié)

其實廣義極坐標(biāo)變換和我們在球域下差別不大,只要牢記一個思想,就是讓我們最終代換的式子實現(xiàn)$$u^2+v^2+w^2=1$$即可

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的积分域为椭球的三重积分的求解方式----广义的极坐标变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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