設給定二元函數 $z=?(x,y)$ 和附加條件 ${\phi }_1(x,y)=0,{\phi }_2(x,y)=0,{\phi }_3(x,y)=0$ ，為尋找 $z=?(x,y)$ 在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數$F(x,y,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)=f(x,y)+{\lambda }_1{\phi }_1(x,y)+{\lambda }_2{\phi }_2(x,y)+{\lambda }_3{\phi }_3(x,y)$ ，其中${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$為參數。

令$F(x,y,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$對$x,y,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$的一階偏導數等于零，即

$F_x^{\prime }=f_x^{\prime }(x,y),{\lambda }_1{\phi }_{1x}^{\prime }(x,y),{\lambda }_2{\phi }_{2x}^{\prime }(x,y),{\lambda }_3{\phi }_{3x}^{\prime }(x,y)=0$

$F_y^{\prime }=f_y^{\prime }(x,y),{\lambda }_1{\phi }_{1y}^{\prime }(x,y),{\lambda }_2{\phi }_{2y}^{\prime }(x,y),{\lambda }_3{\phi }_{3y}^{\prime }(x,y)=0$

$F_{\lambda 1}^{\prime }={\phi }_1(x,y)=0$

$F_{\lambda 2}^{\prime }={\phi }_2(x,y)=0$

$F_{\lambda 3}^{\prime }={\phi }_3(x,y)=0$

由上述方程組解出$x,y,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，如此求得的解$(x,y)$，就是函數$z=?(x,y)$的附加條件${\phi }_1(x,y)=0,{\phi }_2(x,y)=0,{\phi }_3(x,y)=0$下的可能極值點。把每個點帶入原函數$z=?(x,y)$，判斷對應的值。

總結

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