手動推導計算AES中的s盒的輸出

初衷

為了解決一道密碼學課后作業：

在AES中，對于字節 “00” 和 “01” 計算S盒的輸出。

百度查了很久，很多都是淺嘗則之，沒有具體說明S盒計算的具體過程和方法，要么就是說直接使用S盒求出，搞的我很崩潰，本身也是半吊子。后來在這篇文章的幫助下，順利找到了解決方法。

---

很明顯，如果通過查表的方式，很容易就可以得出“63”“63”和 “7C”“7C”這兩個輸出。但是這道題不能這么做，需要手動計算S盒的輸出。

算法過程簡介

AES加密算法涉及4種操作：

• 字節替代（SubBytes）
• 行移位（ShiftRows）
• 列混淆（MixColumns）
• 輪密鑰加（AddRoundKey）.

其中第一步字節替換，即SubBytes，它是作用在狀態中每個字節上的一種非線性字節變換，這個變換（或稱S_box
）按以下兩步進行：
- 把字節的值用它的乘法逆來代替，其中 “00” 的逆就是它自己；
- 把經上一步處理后的字節值再進行如下定義的仿射變換：

因此第一步需要求多項式的乘法逆

又二進制多項式 b(x)b(x) 的乘法逆為滿足

a(x)b(x)=1modm(x)(1)(1)a(x)b(x)=1modm(x)
的二進制多項式 a(x)a(x) ,其中 a(x)=b?1(x)a(x)=b?1(x)

計算過程

1. 求乘法逆(Multiplicative Inverse)

在RJNDAEL中的不可約多項式為：

m(x)=x8+x4+x3+x+1(17)(17)m(x)=x8+x4+x3+x+1
假設我們要求 a(x)a(x)的逆，對 a(x)a(x)和 m(x)m(x)使用擴展歐幾里得算法可以得到形如
b(x)?a(x)+s(x)?m(x)=1(18)(18)b(x)?a(x)+s(x)?m(x)=1
的等式，即等價于
b(x)?a(x)=1(modm(x))(19)(19)b(x)?a(x)=1(modm(x))
其中 a(x)a(x)的逆為 b(x)b(x)

---

假設現在我們的輸入是“02”“02”,根據已有S盒中得到的結果為“77”“77”,所以接下來我們要驗證使用下面講述的方法，最后計算的結果是否也是“77”“77”。

可以得出“02”“02”對應的二進制多項式為 xx;

接下來介紹的方法來自這里,根據這個方法可以得到以下的表格：

RemainderQuotientAuxiliary

x8+x4+x3+x+1x8+x4+x3+x+1		00
xx		11
11	x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1	x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1

表格的生成規則是：AuxiliaryAuxiliary 列的前兩行以 0 和 1 開始，RemainderRemainder列的前兩行通常以 m(x)m(x) 和 a(x)a(x)開始，如上表所示。接下來的行的計算方法是：取以當前行的前兩行中的RemainderRemainder相除，得到的商放在QuotientQuotient列中，得到的余數放在RemainderRemainder列中。接著將當前號的quotientquotient值乘上一行的AuxiliaryAuxiliary(GF(28)GF(28)上的乘法)并且再加上(GF(28)GF(28)上的加法)上上【即前兩行】一行的AuxiliaryAuxiliary列中的值，最后把計算的結果放到當前行的AuxiliaryAuxiliary 列上。當RemainderRemainder列減小到一時，AuxiliaryAuxiliary 列中的值就是a(x)a(x)對應的乘法逆。下面就上面的例子做一下說明：

AuxiliaryAuxiliary 列的前兩行以 0 和 1 開始，所以表格AuxiliaryAuxiliary 列前兩行填上 0 和 1；

RemainderRemainder列的前兩行通常以 m(x)m(x) 和 a(x)a(x)開始，所以表格RemainderRemainder列前兩行填上x8+x4+x3+x+1x8+x4+x3+x+1和xx，其中a(x)a(x)為我們要求乘法逆的多項式，這里我們假設a(x)=xa(x)=x

接下來用x8+x4+x3+x+1x8+x4+x3+x+1除以xx，得到商為x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1，余數為11，分別填入QuotientQuotient列和RemainderRemainder列中。
4.計算 AuxiliaryAuxiliary 列，將當前行的QuotientQuotient列的值，即x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1，去乘上一行 AuxiliaryAuxiliary 列的值，即11,再去加上上一行的 AuxiliaryAuxiliary 列的值，即00,最后得到結果為(x7+x3+x2+1)?1+0(x7+x3+x2+1)?1+0，注意此處的運算都是GF(28)GF(28)上的乘法和加法。

此時RemainderRemainder列已經等于11,所以x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1就是xx的乘法逆。
求乘法逆的過程到此結束，將x7+x3+x2+1x7+x3+x2+1轉換為二進制即為1000110110001101，接下來進行第二步操作：仿射變換(Affine Transformation).

2. 仿射變換(Affine Transformation)

關于仿射變換可以參考這個論壇里的討論，里面講的已經很詳細了，大致的過程就是矩陣運算，其中矩陣每一行和上一步求出乘法逆相與之后，再對得到的8位二進制進行異或，最后得到00或者11.比如：

Input = 1 0 1 1 0 0 0 1 (LSB First)Row 0 = 1 0 0 0 1 1 1 1Bit 0 = 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0Row 1 = 1 1 0 0 0 1 1 1Bit 1 = 1 0 0 0 0 0 0 1 = 0Row 2 = 1 1 1 0 0 0 1 1Bit 2 = 1 0 1 0 0 0 0 1 = 1Row 3 = 1 1 1 1 0 0 0 1Bit 3 = 1 0 1 1 0 0 0 1 = 0Row 4 = 1 1 1 1 1 0 0 0Bit 4 = 1 0 1 1 0 0 0 0 = 1Row 5 = 0 1 1 1 1 1 0 0Bit 5 = 0 0 1 1 0 0 0 0 = 0Row 6 = 0 0 1 1 1 1 1 0Bit 6 = 0 0 1 1 0 0 0 0 = 0Row 7 = 0 0 0 1 1 1 1 1Bit 7 = 0 0 0 1 0 0 0 1 = 0

注：LSB first表示低位在前

上一步求出1000110110001101，其低位在前即1011000110110001。接下來將inputinput 和 rowrow相與再將得到的所有bitbit進行異或運算，得到矩陣運算的結果0010100000101000，之后再和最后的矩陣向量1100011011000110進行GF(28)GF(28)上的加法運算，得到了1110111011101110。由于我們一直都是以低位在前進行運算，最后的結果需要換為 MSBfirstMSBfirst 高位在前，所以將1110111011101110倒著寫得到最終結果011101111011101111。查看S_box的表格可知，輸入0202最終得到7777，計算結果正確。至此AESAES的S盒計算過程已經摸索清除，至于其中更深層次的數學原理，如果有哪位大神知道的可以留言一下。

總結

起初是為了解決一道題，后來發現百度很久(不知道是不是我的打開方式有問題)，居然沒有很整齊劃一的方法可以解答這個問題，國內的論壇都是抄來抄去，沒有人解決實質性的問題，幸虧后來在一些國外的論壇找到了答案。雖然這篇文章的講到的一些原理還沒有弄懂，我也不是很清楚為什么這么算就可以了。。。不過我相信后來的人再看到就有機會更深層次地挖掘，更好地弄懂這類問題。

碼字不易，轉載請注明出處

參考資料

1.http://mathforum.org/library/drmath/view/51675.html
2.https://crypto.stackexchange.com/questions/10996/how-are-the-aes-s-boxes-calculated
3.https://wenku.baidu.com/view/a1832d43b307e87101f696ac.html
4.https://www.cnblogs.com/luop/p/4334160.html
5.https://max.book118.com/html/2016/0222/35595572.shtm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的手动推导计算AES中的s盒的输出的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。