4種頻率及其數(shù)量關(guān)系

實(shí)際物理頻率表示AD采集物理信號(hào)的頻率，fs為采樣頻率，由奈奎斯特采樣定理可以知道，fs必須≥信號(hào)最高頻率的2倍才不會(huì)發(fā)生信號(hào)混疊，因此fs能采樣到的信號(hào)最高頻率為fs/2。

角頻率是物理頻率的2*pi倍，這個(gè)也稱模擬頻率。

歸一化頻率是將物理頻率按fs歸一化之后的結(jié)果，最高的信號(hào)頻率為fs/2對(duì)應(yīng)歸一化頻率0.5，這也就是為什么在matlab的fdtool工具中歸一化頻率為什么最大只到0.5的原因。

圓周頻率是歸一化頻率的2*pi倍，這個(gè)也稱數(shù)字頻率。

有關(guān)FFT頻率與實(shí)際物理頻率的分析

做n個(gè)點(diǎn)的FFT，表示在時(shí)域上對(duì)原來的信號(hào)取了n個(gè)點(diǎn)來做頻譜分析，n點(diǎn)FFT變換的結(jié)果仍為n個(gè)點(diǎn)。

換句話說，就是將2pi數(shù)字頻率w分成n份，而整個(gè)數(shù)字頻率w的范圍覆蓋了從0-2pi*fs的模擬頻率范圍。這里的fs是采樣頻率。而我們通常只關(guān)心0-pi中的頻譜，因?yàn)楦鶕?jù)奈科斯特定律，只有f=fs/2范圍內(nèi)的信號(hào)才是被采樣到的有效信號(hào)。那么，在w的范圍內(nèi)，得到的頻譜肯定是關(guān)于n/2對(duì)稱的。

舉例說，如果做了16個(gè)點(diǎn)的FFT分析，你原來的模擬信號(hào)的最高頻率f=32kHz，采樣頻率是64kHz，n的范圍是0,1,2...15。這時(shí)，64kHz的模擬頻率被分成了16分，每一份是4kHz，這個(gè)叫頻率分辨率。那么在橫坐標(biāo)中，n=1時(shí)對(duì)應(yīng)的f是4kHz, n=2對(duì)應(yīng)的是8kHz, n=15時(shí)對(duì)應(yīng)的是60kHz，你的頻譜是關(guān)于n=8對(duì)稱的。你只需要關(guān)心n=0到7以內(nèi)的頻譜就足夠了，因?yàn)?#xff0c;原來信號(hào)的最高模擬頻率是32kHz。

這里可以有兩個(gè)結(jié)論。

• 第一，必須知道原來信號(hào)的采樣頻率fs是多少，才可以知道每個(gè)n對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率是多少，第k個(gè)點(diǎn)的實(shí)際頻率的計(jì)算為f(k)=k*(fs/n)
• 第二，你64kHz做了16個(gè)點(diǎn)FFT之后，因?yàn)轭l率分辨率是4kHz，如果原來的信號(hào)在5kHz或者63kHz有分量，你在頻譜上是看不見的，這就表示你越想頻譜畫得逼真，就必須取越多的點(diǎn)數(shù)來做FFT，n就越大，你在時(shí)域上就必須取更長(zhǎng)的信號(hào)樣本來做分析。但是無論如何，由于離散采樣的原理，你不可能完全準(zhǔn)確地畫出原來連續(xù)時(shí)間信號(hào)的真實(shí)頻譜，只能無限接近（就是n無限大的時(shí)候），這個(gè)就叫做頻率泄露。在采樣頻率fs不變得情況下，頻率泄漏可以通過取更多的點(diǎn)來改善，也可以通過做FFT前加窗來改善，這就是另外一個(gè)話題了。

離散信號(hào)傅里葉變換的周期性討論

要分析這個(gè)，我們先從Laplace變換與Z變換之間的關(guān)系談起。

由，得z平面與s平面的關(guān)系圖

圖中的關(guān)系有以下幾點(diǎn)：

• s平面的虛軸映射到z平面的單位圓上
• s平面的負(fù)半軸映射到z平面的單位圓內(nèi)
• s平面的正半軸映射到z平面的單位圓外

Laplace變換是用于連續(xù)信號(hào)的變換，相對(duì)應(yīng)的z變換是應(yīng)用到z平面的變換。因此從另一個(gè)角度，上面談到的角頻率（模擬頻率）對(duì)應(yīng)的是s平面，圓周頻率對(duì)應(yīng)的是z平面（也是為什么稱為圓周頻率的原因）。

現(xiàn)在我們來看一下s平面虛軸上模擬頻率的變換將會(huì)導(dǎo)致z平面單位圓上如何變化：

• 當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從0變到fs 時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上從0變到2 pi。
• 當(dāng)模擬頻率在s平面的虛軸上從2fs變到4fs時(shí)，數(shù)字頻率在z平面單位圓上仍然從0變到2 pi。
• 。。。。。。z平面如此循環(huán)重復(fù)

我們知道離散信號(hào)的傅里葉變換對(duì)應(yīng)到單位圓上的z變換，因此上面的結(jié)論就驗(yàn)證了為什么離散信號(hào)的傅里葉變換是周期性：根本原因所是單位圓上的周期性。

考慮到我們實(shí)際應(yīng)用中可選擇一個(gè)周期，這也能夠解釋：因?yàn)閷?shí)際信號(hào)的頻率總是在fs/2以下，這就對(duì)應(yīng)到z平面單位圓上的0~pi，在一個(gè)周期范圍內(nèi)就可以進(jìn)行信號(hào)分析了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字信号处理中各种频率关系的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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