作者：桂。

時(shí)間：2017-09-29??21:20:18

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前言

主要分析在解相干算法中，子陣平滑的有效性。

一、前向平滑

以均勻線陣（ULA）為例，第l個(gè)接收陣元的信號(hào)為：

其中，M為陣元數(shù)，N為信號(hào)個(gè)數(shù)。

以前向平滑為例：

令β =?，對(duì)于第k個(gè)子陣有

其中D為:

假設(shè)信號(hào)與噪聲不相關(guān)，且噪聲為白噪聲，計(jì)算相關(guān)矩陣：

前向平滑修正的協(xié)方差矩陣：

證明：當(dāng)子陣陣元數(shù)m>=N，且當(dāng)p>=N時(shí)，Rf為滿秩矩陣。

對(duì)于相干情況，Rs的秩為1，故可以用矢量相乘的形式表示：

則

顯然C與R_sf的秩是一致的。式中

C可進(jìn)一步表示為

其中，α為對(duì)應(yīng)信號(hào)的幅度，因此該矩陣rank = K

A_L是Vandermonde矩陣：

從而有：

進(jìn)一步得出結(jié)論：

得證。

?上面的推導(dǎo)是教科書中的推導(dǎo)，以兩個(gè)子陣、兩個(gè)信號(hào)為例，假設(shè)兩個(gè)子陣的間距為D，對(duì)應(yīng)的A可寫為：

雖然具有Vandermonde結(jié)構(gòu)，但即使入射角度不同，上面的矩陣仍然可能出現(xiàn)rank = 1的情況，只要滿足（k為整數(shù)）：

任意取D = 4*λ，theta1、2分別取-60°~60°，仿真結(jié)果：

D = 2*λ，進(jìn)行仿真：

當(dāng)兩個(gè)相位差2pi整數(shù)倍，如圖藍(lán)線所示，此時(shí)相關(guān)矩陣的秩仍然是虧缺的，此時(shí)譜估計(jì)解相干失效，這里稱藍(lán)色區(qū)域?yàn)?strong>盲區(qū)。以MUSIC算法為例，自然也無(wú)從談起矩陣分解以及譜估計(jì)。另一方面，D與λ比值的取值越小，則盲區(qū)越小。

這個(gè)盲區(qū)類似：子陣間距（孔徑）減小，則相位模糊較少（盲區(qū)減少），但分辨率下降；子陣間距增大，則相位模糊增多（盲區(qū)增加），對(duì)應(yīng)分辨率提高。

?

二、后向平滑算法

后向平滑：

子陣信號(hào)為：

其中J為交換矩陣。

以第p-k+1個(gè)子陣為例：

后向空間平滑修正的相關(guān)矩陣為：

得出的性質(zhì)與前向平滑類似。當(dāng)子陣陣元數(shù)m>=N，且當(dāng)p>=N時(shí)，Rb為滿秩矩陣。

?

三、前后向平滑算法

前后向平滑，即是將前向平滑、后向平滑的相關(guān)矩陣?yán)奂印?/p>

當(dāng)子陣陣元數(shù)m>=N，且當(dāng)2p>=N時(shí)，R為滿秩矩陣。這一點(diǎn)僅當(dāng)子陣結(jié)構(gòu)為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)才成立。

?

四、前向、后向、前后向平滑與陣列的關(guān)系

前向平滑可以理解成原始子陣的平滑：

后向平滑則可以理解為鏡像對(duì)稱的虛擬（子陣）：

因?yàn)榈皆c(diǎn)的距離由d變?yōu)?d，在形式上體現(xiàn)的就是相位相反，也就是接收數(shù)據(jù)取共軛。順序就是翻轉(zhuǎn)，因此后向平滑就是前向平滑的共軛+翻轉(zhuǎn)。

假設(shè)兩個(gè)子陣的原始子陣為1、 2，翻轉(zhuǎn)后為1‘，2’，前向平滑就是利用1，2；后向平滑為1‘，2’。前后向平滑為1，1‘，2，2’，由于形式上利用了更多的子陣，因此前后向平滑需要的子陣個(gè)數(shù)更少。但子陣必須中心對(duì)稱，即鏡像之后與原始子陣結(jié)構(gòu)一致。

?

五、前后向與非均勻的關(guān)系

鏡像的思路（即后向平滑），也給了非均勻布陣一些啟發(fā)。

在構(gòu)造子陣時(shí)，如果是一般的子陣，進(jìn)行copy之后，即可利用空間平滑的思想：

但可以借助鏡像特性，進(jìn)一步節(jié)省資源，例如一個(gè)5陣元的非均勻線陣：

利用鏡像的關(guān)系，可以得出兩個(gè)4元的非均勻線陣（紅框所示），這就給布陣拓展了思路。

?

六、非均勻鏡像中坐標(biāo)點(diǎn)的影響

該章節(jié)分析，從理論到結(jié)論，均錯(cuò)誤。

根據(jù)上文第一部分的分析，子陣的間距D會(huì)造成盲區(qū),且D/λ越大，盲區(qū)越大。

對(duì)于直接copy的空間平滑子陣思路，一旦子陣確定，子陣間距D也隨之確定，因此盲區(qū)變得不可控。

而對(duì)于鏡像的思路，子陣間距D是可控的，這就使得盲區(qū)變得相對(duì)可控。r對(duì)于上面提到的非均勻線陣，取不同的坐標(biāo)原點(diǎn)：

子陣之間的距離也隨之改變，對(duì)于兩個(gè)子陣，如果借助鏡像的思想，理論上間距D可以取的范圍是：0 - +∞。

這里就難免帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題：改變坐標(biāo)原點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)改變導(dǎo)向矢量，近而改變?cè)嫉年嚵薪邮諗?shù)據(jù)，可對(duì)于陣列來(lái)講，接收的數(shù)據(jù)是固定不變的。這個(gè)可以換一個(gè)角度理解:X = AS，改變參考點(diǎn)，調(diào)節(jié)的是A，在X給定不變的情況下，S是一個(gè)相對(duì)的信息，盡管改變參考系可以使得盲區(qū)減小，但S可能得到的是小信號(hào)。一個(gè)解決辦法是在譜估計(jì)（MUSIC為例）時(shí)取不同的參考系，假設(shè)X給定，從何借助兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)（鏡像陣列，對(duì)于不同參考系，盲區(qū)不同。）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的空间谱专题11：子阵平滑与秩亏缺的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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