作者：桂。

時間：2017-09-29??21:20:18

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前言

主要分析在解相干算法中，子陣平滑的有效性。

一、前向平滑

以均勻線陣（ULA）為例，第l個接收陣元的信號為：

其中，M為陣元數，N為信號個數。

以前向平滑為例：

令β =?，對于第k個子陣有

其中D為:

假設信號與噪聲不相關，且噪聲為白噪聲，計算相關矩陣：

前向平滑修正的協方差矩陣：

證明：當子陣陣元數m>=N，且當p>=N時，Rf為滿秩矩陣。

對于相干情況，Rs的秩為1，故可以用矢量相乘的形式表示：

則

顯然C與R_sf的秩是一致的。式中

C可進一步表示為

其中，α為對應信號的幅度，因此該矩陣rank = K

A_L是Vandermonde矩陣：

從而有：

進一步得出結論：

得證。

?上面的推導是教科書中的推導，以兩個子陣、兩個信號為例，假設兩個子陣的間距為D，對應的A可寫為：

雖然具有Vandermonde結構，但即使入射角度不同，上面的矩陣仍然可能出現rank = 1的情況，只要滿足（k為整數）：

任意取D = 4*λ，theta1、2分別取-60°~60°，仿真結果：

D = 2*λ，進行仿真：

當兩個相位差2pi整數倍，如圖藍線所示，此時相關矩陣的秩仍然是虧缺的，此時譜估計解相干失效，這里稱藍色區域為盲區。以MUSIC算法為例，自然也無從談起矩陣分解以及譜估計。另一方面，D與λ比值的取值越小，則盲區越小。

這個盲區類似：子陣間距（孔徑）減小，則相位模糊較少（盲區減少），但分辨率下降；子陣間距增大，則相位模糊增多（盲區增加），對應分辨率提高。

?

二、后向平滑算法

后向平滑：

子陣信號為：

其中J為交換矩陣。

以第p-k+1個子陣為例：

后向空間平滑修正的相關矩陣為：

得出的性質與前向平滑類似。當子陣陣元數m>=N，且當p>=N時，Rb為滿秩矩陣。

?

三、前后向平滑算法

前后向平滑，即是將前向平滑、后向平滑的相關矩陣累加。

當子陣陣元數m>=N，且當2p>=N時，R為滿秩矩陣。這一點僅當子陣結構為中心對稱結構才成立。

?

四、前向、后向、前后向平滑與陣列的關系

前向平滑可以理解成原始子陣的平滑：

后向平滑則可以理解為鏡像對稱的虛擬（子陣）：

因為到原點的距離由d變為-d，在形式上體現的就是相位相反，也就是接收數據取共軛。順序就是翻轉，因此后向平滑就是前向平滑的共軛+翻轉。

假設兩個子陣的原始子陣為1、 2，翻轉后為1‘，2’，前向平滑就是利用1，2；后向平滑為1‘，2’。前后向平滑為1，1‘，2，2’，由于形式上利用了更多的子陣，因此前后向平滑需要的子陣個數更少。但子陣必須中心對稱，即鏡像之后與原始子陣結構一致。

?

五、前后向與非均勻的關系

鏡像的思路（即后向平滑），也給了非均勻布陣一些啟發。

在構造子陣時，如果是一般的子陣，進行copy之后，即可利用空間平滑的思想：

但可以借助鏡像特性，進一步節省資源，例如一個5陣元的非均勻線陣：

利用鏡像的關系，可以得出兩個4元的非均勻線陣（紅框所示），這就給布陣拓展了思路。

?

六、非均勻鏡像中坐標點的影響

該章節分析，從理論到結論，均錯誤。

根據上文第一部分的分析，子陣的間距D會造成盲區,且D/λ越大，盲區越大。

對于直接copy的空間平滑子陣思路，一旦子陣確定，子陣間距D也隨之確定，因此盲區變得不可控。

而對于鏡像的思路，子陣間距D是可控的，這就使得盲區變得相對可控。r對于上面提到的非均勻線陣，取不同的坐標原點：

子陣之間的距離也隨之改變，對于兩個子陣，如果借助鏡像的思想，理論上間距D可以取的范圍是：0 - +∞。

這里就難免帶來一個問題：改變坐標原點，即對應改變導向矢量，近而改變原始的陣列接收數據，可對于陣列來講，接收的數據是固定不變的。這個可以換一個角度理解:X = AS，改變參考點，調節的是A，在X給定不變的情況下，S是一個相對的信息，盡管改變參考系可以使得盲區減小，但S可能得到的是小信號。一個解決辦法是在譜估計（MUSIC為例）時取不同的參考系，假設X給定，從何借助兩組數據進行DOA估計（鏡像陣列，對于不同參考系，盲區不同。）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的空间谱专题11：子阵平滑与秩亏缺的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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