簡介

本文介紹一下Dense Matrix的3中操作： reduction， visitor, broadcasting.

歸約計算reduction.

Eigen的歸約計算是這樣的一類計算，它是對矩陣或者數(shù)組進行的計算，并返回一個標(biāo)量。可能其中最常用的就是sum()計算，它返回的是系數(shù)的和。

比如,前面曾經(jīng)用到的示例：

#include <iostream> #include <Eigen/Dense> using namespace std; int main() {Eigen::Matrix2d mat;mat << 1, 2,3, 4;cout << "Here is mat.sum(): " << mat.sum() << endl;cout << "Here is mat.prod(): " << mat.prod() << endl;cout << "Here is mat.mean(): " << mat.mean() << endl;cout << "Here is mat.minCoeff(): " << mat.minCoeff() << endl;cout << "Here is mat.maxCoeff(): " << mat.maxCoeff() << endl;cout << "Here is mat.trace(): " << mat.trace() << endl; }

其結(jié)果為：

Here is mat.sum(): 10 Here is mat.prod(): 24 Here is mat.mean(): 2.5 Here is mat.minCoeff(): 1 Here is mat.maxCoeff(): 4 Here is mat.trace(): 5

范式計算 （Norm comptation）

以下列出常用的向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的定義，以及對應(yīng)的MATLAB的函數(shù)：

1、向量范數(shù)

• 1-范數(shù)：，即向量元素絕對值之和，matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, 1) 。
• 2-范數(shù)：，Euclid范數(shù)（歐幾里得范數(shù)，常用計算向量長度），即向量元素絕對值的平方和再開方，matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, 2)。
• ∞-范數(shù)：，即所有向量元素絕對值中的最大值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, inf)。
• -∞-范數(shù)：，即所有向量元素絕對值中的最小值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, -inf)。
• p-范數(shù)：，即向量元素絕對值的p次方和的1/p次冪，matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, p)。

2、矩陣范數(shù)

• 1-范數(shù)：， 列和范數(shù)，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A, 1)。
• 2-范數(shù)：，譜范數(shù)，即A’A矩陣的最大特征值的開平方。matlab調(diào)用函數(shù)norm(x, 2)。
• ∞-范數(shù)：，行和范數(shù)，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A, inf)。
• F-范數(shù)：，Frobenius范數(shù)，即矩陣元素絕對值的平方和再開平方，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A, ’fro‘)。

在Eigen中，提供了計算范式的一些方法。

• squaredNorm 向量的平方范式，2-范式，${?}^2$的范式，可以使用方法squaredNorm()，即所有系數(shù)的平方之和，數(shù)學(xué)上是一個向量與自身的點乘。
• norm 即稱歐拉范式，squaredNorm結(jié)果再開平方，得到平方根。

當(dāng)這些計算作用于矩陣時， 一個 nXp的矩陣，可以當(dāng)做一個大小為（n*p）的向量，比如"Frobenius" or "Hilbert-Schmidt" norm。

我們避免提矩陣的${?}^2$的范式（歐拉平方范式）運算，這樣會導(dǎo)致歧義。

Eigen也額外提供了一些對系數(shù)進行歐拉范式操作方法，如${?}^p$范式，可以使用lpNorm<p>()方法。如果要計算${?}^{\infty }$ 范式，模板參數(shù)p取特殊值Infinity
即可，這得到系數(shù)絕對值的最大值。

示例：

//matrix_norm1.cpp#include <Eigen/Dense> #include <iostream>using namespace std; using namespace Eigen;int main() {VectorXf v(2);MatrixXf m(2,2), n(2,2);v << -1,2;cout << "vector v: "<<endl<<v<<endl;cout << "v.squaredNorm() = " << v.squaredNorm() << endl;cout << "v.norm() = " << v.norm() << endl;cout << "v.lpNorm<1>() = " << v.lpNorm<1>() << endl;cout << "v.lpNorm<Infinity>() = " << v.lpNorm<Infinity>() << endl;cout << endl;m << 1,-2,-3,4;cout << "matrix m: "<<endl<<m<<endl;cout << "m.squaredNorm() = " << m.squaredNorm() << endl;cout << "m.norm() = " << m.norm() << endl;cout << "m.lpNorm<1>() = " << m.lpNorm<1>() << endl;cout << "m.lpNorm<Infinity>() = " << m.lpNorm<Infinity>() << endl; }

執(zhí)行結(jié)果：

$ g++ -I /usr/local/include/eigen3 matrix_norm1.cpp -o matrix_norm1 $ ./matrix_norm1 vector v: -12 v.squaredNorm() = 5 v.norm() = 2.23607 v.lpNorm<1>() = 3 v.lpNorm<Infinity>() = 2matrix m: 1 -2 -3 4 m.squaredNorm() = 30 m.norm() = 5.47723 m.lpNorm<1>() = 10 m.lpNorm<Infinity>() = 4

boolean 歸約

Eigen提供了一些針對Boolean運算的歸約操作。

• all() : 如果系數(shù)全部滿足Boolean計算結(jié)果，則結(jié)果為true；否則為false。
• any() : 如果系數(shù)有任何滿足Boolean計算的結(jié)果，則結(jié)果為true；否則為false。
• count() : 返回滿足條件的系數(shù)的數(shù)。

給一個示例：

#include <Eigen/Dense> #include <iostream>using namespace std; using namespace Eigen;int main() {ArrayXXf a(2,2);a << 1,2,3,4;cout << "(a > 0).all() = " << (a > 0).all() << endl;cout << "(a > 0).any() = " << (a > 0).any() << endl;cout << "(a > 0).count() = " << (a > 0).count() << endl;cout << endl;cout << "(a > 2).all() = " << (a > 2).all() << endl;cout << "(a > 2).any() = " << (a > 2).any() << endl;cout << "(a > 2).count() = " << (a > 2).count() << endl; }

結(jié)果：

(a > 0).all() = 1 (a > 0).any() = 1 (a > 0).count() = 4(a > 2).all() = 0 (a > 2).any() = 1 (a > 2).count() = 2

訪問子 visitor

訪問子visitor用于訪問矩陣或數(shù)組內(nèi)的系數(shù)及系數(shù)的位置。最簡單的是前面曾經(jīng)使用到的maxCoeff(&x,&y) , minCoeff(&x,&y)。

示例請看下面的Partial reduction中的例子程序。

Partial reductions 局部歸約

Eigen提供了針對矩陣的列或者行的歸約操作，它們對矩陣的每行/每列進行操作，并返回結(jié)果向量。
對應(yīng)的函數(shù)為colwise() , rowwise()。
Note colwise() 返回的是一個行向量，而rowwise()返回的是一個列向量。

示例：

//matrix_norm2.cpp#include <iostream> #include <Eigen/Dense>using namespace std;int main() {Eigen::MatrixXf mat(2,4);mat << 1, 2, 6, 9,3, 1, 7, 2;std::cout << "Column's maximum: " << std::endl<< mat.colwise().maxCoeff() << std::endl;std::cout << "Row's maximum: " << std::endl<< mat.rowwise().maxCoeff() << std::endl;}

執(zhí)行：

$ g++ -I /usr/local/include/eigen3 matrix_norm2.cpp -o matrix_norm2 $ ./matrix_norm2 Column's maximum: 3 2 7 9 Row's maximum: 9 7

broadcasting

廣播broadcasting比Partial reduction多了一個操作。其把一個向量賦值多次，結(jié)合成一個矩陣，可以和以及矩陣進行運算。

下面是一個簡單的示例程序：

//matrix_broadcast.cpp #include <iostream> #include <Eigen/Dense>using namespace std;int main() {Eigen::MatrixXf mat(2,4);Eigen::VectorXf v(2);mat << 1, 2, 6, 9,3, 1, 7, 2;v << 0,1;//add v to each column of mmat.colwise() += v;std::cout << "Broadcasting result1: " << std::endl;std::cout << mat << std::endl;// -------------Eigen::MatrixXf mm(2,2);mm<<1,2,3,4;v << 1,1;mm.rowwise() += v.transpose();std::cout << "Broadcasting result2: " << std::endl;std::cout << mm << std::endl;}

執(zhí)行的情況類似：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 6& 9\\ 3& 1& 7& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 6& 9\\ 4& 2& 8& 3\end{array}\right].$$

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right].$$

執(zhí)行結(jié)果：

$ g++ -I /usr/local/include/eigen3 matrix_broadcast.cpp -o matrix_broadcast $ $ ./matrix_broadcast Broadcasting result1: 1 2 6 9 4 2 8 3 Broadcasting result2: 2 3 4 5

綜合： 結(jié)合broadcasting和其他的操作及運算

//matrix_broadcast2.cpp #include <iostream> #include <Eigen/Dense>using namespace std; using namespace Eigen;int main() {Eigen::MatrixXf m(2,4);Eigen::VectorXf v(2);m << 1, 23, 6, 9,3, 11, 7, 2;v << 2,3;MatrixXf::Index index;// find nearest neighbour(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm().minCoeff(&index);cout << "Nearest neighbour is column " << index << ":" << endl;cout << "Nearest column vector: " << endl << m.col(index) << endl; }

• 計算m.colwise() - v：
  $$\left[\begin{array}{cccc}1& 23& 6& 9\\ 3& 11& 7& 2\end{array}\right]?\left[\begin{array}{cccc}2& 2& 2& 2\\ 3& 3& 3& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}?1& 21& 4& 7\\ 0& 8& 4& ?1\end{array}\right]$$

• 計算(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm():

(m.colwise() - v).colwise().squaredNorm() = [ \begin{bmatrix} 1 & 505 & 32 & 50 \end{bmatrix} ]

• minCoeff(&index) 用來獲得在m矩陣內(nèi)，最小的系數(shù)位置索引，該列向量與向量v具有最短歐拉距離。

執(zhí)行結(jié)果：

$ g++ -I /usr/local/include/eigen3 matrix_broadcast2.cpp -o matrix_broadcast2 $ ./matrix_broadcast2 Nearest neighbour is column 0: Nearest column vector: 1 3

$$?\begin{array}{cccc}4& 3& 13& 11\\ 4& 3& 13& 11\\ 4& 3& 13& 11\end{array}?$$

$$\left[\begin{array}{cccc}4& 3& 13& 11\end{array}\right]$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Eigen入门之密集矩阵 6 - Reductions, visitors and broadcasting的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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