遞歸解題三部曲

何為遞歸？程序反復(fù)調(diào)用自身即是遞歸。

我自己在剛開(kāi)始解決遞歸問(wèn)題的時(shí)候，總是會(huì)去糾結(jié)這一層函數(shù)做了什么，它調(diào)用自身后的下一層函數(shù)又做了什么…然后就會(huì)覺(jué)得實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸解法十分復(fù)雜，根本就無(wú)從下手。

相信很多初學(xué)者和我一樣，這是一個(gè)思維誤區(qū)，一定要走出來(lái)。既然遞歸是一個(gè)反復(fù)調(diào)用自身的過(guò)程，這就說(shuō)明它每一級(jí)的功能都是一樣的，因此我們只需要關(guān)注一級(jí)遞歸的解決過(guò)程即可。

如上圖所示，我們需要關(guān)心的主要是以下三點(diǎn)：

整個(gè)遞歸的終止條件。

一級(jí)遞歸需要做什么？

應(yīng)該返回給上一級(jí)的返回值是什么？

因此，也就有了我們解遞歸題的三部曲：

找整個(gè)遞歸的終止條件：遞歸應(yīng)該在什么時(shí)候結(jié)束？

找返回值：應(yīng)該給上一級(jí)返回什么信息？

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么：在這一級(jí)遞歸中，應(yīng)該完成什么任務(wù)？

一定要理解這3步，這就是以后遞歸秒殺算法題的依據(jù)和思路。

遞歸的三大要素

第一要素：明確你這個(gè)函數(shù)想要干什么

對(duì)于遞歸，我覺(jué)得很重要的一個(gè)事就是，這個(gè)函數(shù)的功能是什么，他要完成什么樣的一件事，而這個(gè)，是完全由你自己來(lái)定義的。也就是說(shuō)，我們先不管函數(shù)里面的代碼什么，而是要先明白，你這個(gè)函數(shù)是要用來(lái)干什么。

第二要素：尋找遞歸結(jié)束條件

所謂遞歸，就是會(huì)在函數(shù)內(nèi)部代碼中，調(diào)用這個(gè)函數(shù)本身，所以，我們必須要找出遞歸的結(jié)束條件，不然的話，會(huì)一直調(diào)用自己，進(jìn)入無(wú)底洞。也就是說(shuō)，我們需要找出當(dāng)參數(shù)為啥時(shí)，遞歸結(jié)束，之后直接把結(jié)果返回，請(qǐng)注意，這個(gè)時(shí)候我們必須能根據(jù)這個(gè)參數(shù)的值，能夠直接知道函數(shù)的結(jié)果是什么。

第三要素：找出函數(shù)的等價(jià)關(guān)系式

第三要素就是，我們要不斷縮小參數(shù)的范圍，縮小之后，我們可以通過(guò)一些輔助的變量或者操作，使原函數(shù)的結(jié)果不變。

?

例1：求二叉樹(shù)的最大深度

先看一道簡(jiǎn)單的Leetcode題目： Leetcode 104. 二叉樹(shù)的最大深度

題目很簡(jiǎn)單，求二叉樹(shù)的最大深度，那么直接套遞歸解題三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸結(jié)束？當(dāng)然是樹(shù)為空的時(shí)候，此時(shí)樹(shù)的深度為0，遞歸就結(jié)束了。

找返回值。 應(yīng)該返回什么？題目求的是樹(shù)的最大深度，我們需要從每一級(jí)得到的信息自然是當(dāng)前這一級(jí)對(duì)應(yīng)的樹(shù)的最大深度，因此我們的返回值應(yīng)該是當(dāng)前樹(shù)的最大深度，這一步可以結(jié)合第三步來(lái)看。

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 首先，還是強(qiáng)調(diào)要走出之前的思維誤區(qū)，遞歸后我們眼里的樹(shù)一定是這個(gè)樣子的，看下圖。此時(shí)就三個(gè)節(jié)點(diǎn)：root、root.left、root.right，其中根據(jù)第二步，root.left和root.right分別記錄的是root的左右子樹(shù)的最大深度。那么本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么就很明確了，自然就是在root的左右子樹(shù)中選擇較大的一個(gè)，再加上1就是以root為根的子樹(shù)的最大深度了，然后再返回這個(gè)深度即可。

具體代碼如下：

# Definition for a binary tree node. # class TreeNode(object): # def __init__(self, val=0, left=None, right=None): # self.val = val # self.left = left # self.right = right class Solution(object):def maxDepth(self, root):""":type root: TreeNode:rtype: int"""if root is None:return 0left_height = self.maxDepth(root.left)right_height = self.maxDepth(root.right)return max(left_height, right_height) + 1

?

例2：兩兩交換鏈表中的節(jié)點(diǎn)

看了一道遞歸套路解決二叉樹(shù)的問(wèn)題后，有點(diǎn)套路搞定遞歸的感覺(jué)了嗎？我們?cè)賮?lái)看一道Leetcode中等難度的鏈表的問(wèn)題，掌握套路后這種中等難度的問(wèn)題真的就是秒：Leetcode 24. 兩兩交換鏈表中的節(jié)點(diǎn)

直接上三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸終止？沒(méi)得交換的時(shí)候，遞歸就終止了唄。因此當(dāng)鏈表只剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者沒(méi)有節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，自然遞歸就終止了。

找返回值。 我們希望向上一級(jí)遞歸返回什么信息？由于我們的目的是兩兩交換鏈表中相鄰的節(jié)點(diǎn)，因此自然希望交換給上一級(jí)遞歸的是已經(jīng)完成交換處理，即已經(jīng)處理好的鏈表。

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 結(jié)合第二步，看下圖！由于只考慮本級(jí)遞歸，所以這個(gè)鏈表在我們眼里其實(shí)也就三個(gè)節(jié)點(diǎn)：head、head.next、已處理完的鏈表部分。而本級(jí)遞歸的任務(wù)也就是交換這3個(gè)節(jié)點(diǎn)中的前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，就很easy了。

附上代碼：

# Definition for singly-linked list. # class ListNode(object): # def __init__(self, val=0, next=None): # self.val = val # self.next = next class Solution(object):def swapPairs(self, head):""":type head: ListNode:rtype: ListNode"""#終止條件：鏈表只剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者沒(méi)節(jié)點(diǎn)了，沒(méi)得交換了。返回的是已經(jīng)處理好的鏈表if head is None or head.next is None:return head#一共三個(gè)節(jié)點(diǎn):head, next, swapPairs(next.next)#下面的任務(wù)便是交換這3個(gè)節(jié)點(diǎn)中的前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)newHead = head.nexthead.next = self.swapPairs(newHead.next) newHead.next = head#根據(jù)第二步：返回給上一級(jí)的是當(dāng)前已經(jīng)完成交換后，即處理好了的鏈表部分return newHead

?

例3：反轉(zhuǎn)單鏈表

206. 反轉(zhuǎn)鏈表

反轉(zhuǎn)單鏈表。例如鏈表為：1->2->3->4。反轉(zhuǎn)后為 4->3->2->1

1. 定義遞歸函數(shù)功能

假設(shè)函數(shù) reverseList(head) 的功能是反轉(zhuǎn)但鏈表，其中 head 表示鏈表的頭節(jié)點(diǎn)

2.尋找結(jié)束條件

當(dāng)鏈表只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，或者如果是空表的話，你應(yīng)該知道結(jié)果吧？直接啥也不用干，直接把 head 返回

3. 尋找等價(jià)關(guān)系

它的等價(jià)條件中，一定是范圍不斷在縮小，對(duì)于鏈表來(lái)說(shuō)，就是鏈表的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不斷在變小，所以，如果你實(shí)在找不出，你就先對(duì) reverseList(head.next) 遞歸走一遍，看看結(jié)果是咋樣的。

先縮小范圍，先對(duì) 2->3->4遞歸下試試，即代碼如下

class Solution:def reverseList(self, head: ListNode) -> ListNode:if not head or not head.next:return headnewHead = self.reverseList(head.next)

們?cè)诘谝徊降臅r(shí)候，就已經(jīng)定義了 reverseLis t函數(shù)的功能可以把一個(gè)單鏈表反轉(zhuǎn)，所以，我們對(duì) 2->3->4反轉(zhuǎn)之后的結(jié)果應(yīng)該是這樣：

我們把 2->3->4 遞歸成 4->3->2。不過(guò)，1 這個(gè)節(jié)點(diǎn)我們并沒(méi)有去碰它，所以 1 的 next 節(jié)點(diǎn)仍然是連接這 2。

接下來(lái)呢？該怎么辦？

其實(shí)，接下來(lái)就簡(jiǎn)單了，我們接下來(lái)只需要把節(jié)點(diǎn) 2 的 next 指向 1，然后把 1 的 next 指向 null,不就行了？，即通過(guò)改變 newList 鏈表之后的結(jié)果如下：

也就是說(shuō)，reverseList(head) 等價(jià)于 reverseList(head.next) + 改變一下1，2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的指向。好了，等價(jià)關(guān)系找出來(lái)了，代碼如下(有詳細(xì)的解釋)：

class Solution:def reverseList(self, head: ListNode) -> ListNode:if not head or not head.next:return headnewHead = self.reverseList(head.next)#改變 1，2節(jié)點(diǎn)的指向。#通過(guò) head.next獲取節(jié)點(diǎn)2t1 = head.next#讓 2 的 next 指向 2t1.next = head#1 的 next 指向 null.head.next = None#把調(diào)整之后的鏈表返回。return newHead

?

例4：平衡二叉樹(shù)

那么請(qǐng)你先不看以下部分，嘗試解決一下這道easy難度的Leetcode題（個(gè)人覺(jué)得此題比上面的medium難度要難）：Leetcode 110. 平衡二叉樹(shù)

我覺(jué)得這個(gè)題真的是集合了模版的精髓所在，下面套三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸應(yīng)該終止？自然是子樹(shù)為空的時(shí)候，空樹(shù)自然是平衡二叉樹(shù)了。

應(yīng)該返回什么信息：

為什么我說(shuō)這個(gè)題是集合了模版精髓？正是因?yàn)榇祟}的返回值。要知道我們搞這么多花里胡哨的，都是為了能寫(xiě)出正確的遞歸函數(shù)，因此在解這個(gè)題的時(shí)候，我們就需要思考，我們到底希望返回什么值？

何為平衡二叉樹(shù)？平衡二叉樹(shù)即左右兩棵子樹(shù)高度差不大于1的二叉樹(shù)。而對(duì)于一顆樹(shù)，它是一個(gè)平衡二叉樹(shù)需要滿足三個(gè)條件：它的左子樹(shù)是平衡二叉樹(shù)，它的右子樹(shù)是平衡二叉樹(shù)，它的左右子樹(shù)的高度差不大于1。換句話說(shuō)：如果它的左子樹(shù)或右子樹(shù)不是平衡二叉樹(shù)，或者它的左右子樹(shù)高度差大于1，那么它就不是平衡二叉樹(shù)。

而在我們眼里，這顆二叉樹(shù)就3個(gè)節(jié)點(diǎn)：root、left、right。那么我們應(yīng)該返回什么呢？如果返回一個(gè)當(dāng)前樹(shù)是否是平衡二叉樹(shù)的boolean類(lèi)型的值，那么我只知道left和right這兩棵樹(shù)是否是平衡二叉樹(shù)，無(wú)法得出left和right的高度差是否不大于1，自然也就無(wú)法得出root這棵樹(shù)是否是平衡二叉樹(shù)了。而如果我返回的是一個(gè)平衡二叉樹(shù)的高度的int類(lèi)型的值，那么我就只知道兩棵樹(shù)的高度，但無(wú)法知道這兩棵樹(shù)是不是平衡二叉樹(shù)，自然也就沒(méi)法判斷root這棵樹(shù)是不是平衡二叉樹(shù)了。

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 知道了第二步的返回值后，這一步就很簡(jiǎn)單了。目前樹(shù)有三個(gè)節(jié)點(diǎn)：root，left，right。我們首先判斷l(xiāng)eft子樹(shù)和right子樹(shù)是否是平衡二叉樹(shù)，如果不是則直接返回false。再判斷兩樹(shù)高度差是否不大于1，如果大于1也直接返回false。否則說(shuō)明以root為節(jié)點(diǎn)的子樹(shù)是平衡二叉樹(shù)，那么就返回true和它的高度。

?

判斷左右子樹(shù)的高度差是否超過(guò)1，依次遞歸

# Definition for a binary tree node. # class TreeNode(object): # def __init__(self, val=0, left=None, right=None): # self.val = val # self.left = left # self.right = right class Solution(object):def isBalanced(self, root):""":type root: TreeNode:rtype: bool"""if root is None:return Trueif abs(self.getHeight(root.left) - self.getHeight(root.right)) > 1:return Falsereturn self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)def getHeight(self, node):if node is None:return 0return max(self.getHeight(node.left), self.getHeight(node.right)) + 1

?

?

?

一些可以用這個(gè)套路解決的題

暫時(shí)就寫(xiě)這么多啦，作為一個(gè)高考語(yǔ)文及格分，大學(xué)又學(xué)了工科的人，表述能力實(shí)在差因此啰啰嗦嗦寫(xiě)了一大堆，希望大家能理解這個(gè)很好用的套路。

下面我再列舉幾道我在刷題過(guò)程中遇到的也是用這個(gè)套路秒的題，真的太多了，大部分鏈表和樹(shù)的遞歸題都能這么秒，因?yàn)闃?shù)和鏈表天生就是適合遞歸的結(jié)構(gòu)。

我會(huì)隨時(shí)補(bǔ)充，正好大家可以看了上面三個(gè)題后可以拿這些題來(lái)練練手，看看自己是否能獨(dú)立快速準(zhǔn)確的寫(xiě)出遞歸解法了。

Leetcode 101. 對(duì)稱二叉樹(shù)

Leetcode 111. 二叉樹(shù)的最小深度

Leetcode 226. 翻轉(zhuǎn)二叉樹(shù)

Leetcode 617. 合并二叉樹(shù)

Leetcode 654. 最大二叉樹(shù)

Leetcode 83. 刪除排序鏈表中的重復(fù)元素

?

https://mp.weixin.qq.com/s/PgSSYc50ajnbh8zD6Ei07g

https://mp.weixin.qq.com/s/mJ_jZZoak7uhItNgnfmZvQ

https://lyl0724.github.io/2020/01/25/1/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[递归]递归问题解题思路的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。