定理
$若p為質數,x2\equiv 1(modp),則x\equiv 1(modp)或x\equiv p?1(modp)$
證明:
$移項可得:x2?1\equiv 0(modp),也就是(x+1)(x?1)\equiv 0(modp).$

$這個式子等價于p|(x+1)(x?1).$

$容易想到p|(x+1)或者p|(x?1)都是可行的,那么有沒有p?(x?1),p?(x+1),而p|(x?1)(x+1)呢?$

$$\begin{gathered} 若出現上面這種情況,首先要保證的是gcd(p,x?1)>1且gcd(p,x+1)>1. \\ 可以理解為p這個因子被"拆成"了兩份,一份和(x?1)融合在了一起,另一份和(x+1)融合在了一起.而p是質數,只能拆成p和1兩個因子; \\ 無論怎么拆,都不能使得兩個gcd同時大于1.這算是一種不嚴謹的證法,證明了一定有p|(x?1)或p|(x+1) \end{gathered}$$

$接下來就簡單了:p|(x+1)等價于x+1\equiv 0(modp),即x\equiv p?1(modp).p|(x?1)同理.這樣就證明完畢了.$

總結

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