一、無重復元素的排列組合定義

排列，英文名為Permutation，是指從某元素集合中取出指定個數的元素進行排序
組合，英文名為Combination，是指從某元素集合中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序

從有n個不同元素的集合任取r個元素的排列方式有：
$P(n,r)=n?(n?1)?...?(n?r+1)=n!/(n?r)!,特別地P(n,n)=n!$

從有n個不同元素的集合任取r個元素的組合方式有：
$C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/((n?r)!?r!)，特別地C(n,n)=1$

二、多重集合（multiset）的排列組合

設多重集合 $S=n1?a1,n2?a2,...,nk?akn=n1+n2+...+nk$

即集合 S 中含有n1個元素a1， n2個元素a2，…，nk個元素ak，ni被稱為元素ai的重數，k成為多重集合的類別數

在 S 中任選 r 個元素的排列稱為S的r排列，當r = n時，有公式
$P(n;n1?a1,n2?a2,...,nk?ak)=n!/(n1!?n2!?...?nk!)$

在 S 中任選 r 個元素的組合稱為S的r組合，當r<=任意ni時，有公式
$C(n;n1?a1,n2?a2,...,nk?ak)=C(k+r?1,r)$

由公式可以看出多重集合的組合只與類別數k 和選取的元素r 有關，與總數無關！

三、多重集合問題的轉化例子

例1：線性方程 x1 + x2 + … + xk = r 一共有多少組非負整數解？

解答：上述不定方程的非負整數解對應于下述排列

1…101…1 01…1 0 … 01…1

x1 個 x2 個 x3 個 … xk 個

其中 k-1個 0 將 r 個 1 分成k段， 每段含1的個數分別為 x1, x2, …, xk,

很明顯這個排列是多重集合 S = { r * 1， （k-1）* 0 }的全排列

即：P(r+k-1; r*1, (k-1)*0) = (r+k-1)! / ( r! * (k-1)! ) = C( r+k-1, r),即從k類元素中選r個的種類

例二：某車站有6個入口處，每個入口處每次只能進一個人， 一組9個人進站的方案有多少？

解答：進站方案可以表示為

1 011 011 01 011 01

g1 g2 g3 g4 g5 g6

其中 1 表示不同的人， 而 0 表示門框, 6-1= 5個門框將序列分為六段,

則任意進站方案可表示成上面 14 個元素 S = { 5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, …, 1 * p9 }的一個排列

即：P(5+9;51, 1p1, 1p2, …, 1p9) = 14! / ( 5! * 1! * … 1! ) = 14! / 5!

例三、求從（0,0）點到（m,n）點的非降路徑數

解答：無論哪條路徑，必須在x方向上走m步，y方向上走n步，將非降路徑數與多重集合 S = { m * x, n * y } 的排列建立一一對應關系，所以格路總數為 P(m+n; mx, ny) = (m+n)! / ( m! * n! ) = C(m+n, n) = C(m+n, m)

一般地，設c>=a, d>=b,則由(a,b)到(c,d)的非降路徑數為C(c-a+d-b, c-a)

擴展問題： 在上例基礎上若設m<n,求點（0,1）到點(m,n)不接觸對角線 y=x的非降路徑數據（接觸包括穿過）

解答：從（0,1）到(m,n)的非降路徑，有的接觸 y=x，有的不接觸，對于每條接觸 y=x的非降路徑，做(0,1)關于y=x的對稱點(1,0)到(m,n)的對稱非降路徑，容易看出從（0,1）到（m,n）接觸y=x的非降路徑與 （1,0）到(m,n)的非降路徑（必穿過y=x）一一對應，

故所求的非降路徑數為 C(m+n-1, m) - C(m+n-1, m-1)

例四、將r個相同的小球放入n個不同的盒子，總共有多少種方案？

解答：該問題可以轉化為r個相同的小球與n-1個相同的盒壁的排列問題

1…1 0 1…1 0 1…1 0 … 0 1…1

其中有 n-1個 0 分成 n段,每段表示不同的盒子， 每段中1的個數表示該盒子里放入的小球總數，總共r個1

即：P( r+n-1; r*1, (n-1)*0 ) = (r+n-1)! / ( r! * (n-1)! ) = C( r+n-1, r)

例五、求集合 X = { 1,2，…, n }的不含相鄰整數的k元子集個數

解答：任意一個X的k元子集s都可以對應于一個由0,1組成的有序n重組（a1 a2 … an）,其中 ai = 1 當 i屬于s，否則 ai = 0，當i不屬于s，由于s中不含相鄰整數，所以在此n重組中沒有兩個1是相鄰的，所以子集s是與這樣的n重組 S = { k*1, (n-k)*0 }之間是一一對應的，由于任意兩個1彼此不相鄰，故可以把（n-k）個0依次排列，然后在（n-k+1）個空隙中插入k個1，所以從（n-k+1）個空隙中選擇k個位置來放置1，有 C(n-k+1, k) 種選法，這也是原問題所對應的答案。

四、母函數
生成函數（母函數）有普通生成函數和指數生成函數：
1.普通生成函數用于解決多重集的組合問題

2.指數型母函數用于解決多重集的排列問題

母函數可以解決遞歸數列的通項問題：斐波那契數列、卡特蘭數列等

普通母函數：
構造母函數G(x), G(x) = a0 + a1x + a2 + a3* +…+ an*， 則稱G(x)是數列a0,a1…an的母函數。

通常普通母函數用來解多重集的組合問題，其思想就是構造一個函數來解決問題，一般過程如下：

1.建立模型：

物品n種,每種數量分別為k1,k2,…kn個，每種物品又有一個屬性值p1,p2,…pn,(如本題的字母價值)，求屬性值和為m的物品組合方法數。（若數量ki無窮 也成立，即對應下面式子中第ki項的指數一直到無窮）

2.構造母函數：

G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…) （一）

=a0 + a1x + a2 + a3* +…+ akk* (設kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn) （二）

G(x)含義： ak 為屬性值和為k的組合方法數。

母函數利用的思想：
1.把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來。

2.把離散數列和冪級數對應起來，把離散數列間的相互結合關系對應成為冪級數間的運算關系，最后由冪級數形式來 確定離散數列的構造。

代碼實現：
求G(x)時一項一項累乘。先令G=1=(1+0x+0+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。
下面是指數型母函數的定義：

對于上面的問題“假設有8個元素，其中a1重復3次，a2重復2次，a3重復3次。從中取r個組合，求其組合數。”：

（感謝 3Dnn 同學指出，下圖的 28/3! 應該改為 26/3!）

引用博客1
引用博客2
引用博客3

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学--数论-多重集排列组合与母函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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