常見動態規劃模型

• 六、常見動態規劃模型
• • 1、最大字段和
  • • 1.1 概念描述
    • 1.2動態規劃算法分析
    • 1.3 代碼實現
  • 2、最長上升子序列（LIS）
  • • 2.1 概念描述
    • 2.2 算法分析
    • 2.3 代碼實現
  • 3、最長公共子序列
  • • 3.1 概念描述
    • 3.2 算法分析
    • 3.3 代碼實現

六、常見動態規劃模型

1、最大字段和

1.1 概念描述

給定一個由數字組成的序列，其中連續的一段子序列稱為一個子段，子段中的所有數之和稱為子段和，這里只考慮非空子段，即至少包含一個元素的子段，一個序列中子段和最大的子段的子段和，為最大子段和。

1.2動態規劃算法分析

對于全部是非正數的序列，最大子段和為其中元素的最大值。
對于有正數的序列，考慮以每一個點為結尾的最大子段和，這個子段一定滿足其前綴和均非負，因為如果有一個前綴是負的，那么減掉這個前綴對于這個點一定更優，并且這個子段要盡量往前延伸。
我們可以只用一次掃描，記錄目前統計的sum以及答案ans。當sum加上當前位置這個數還是正數的時候就繼續累加sum，否則就將sum置為0 。這樣就舍掉了所有前綴是負數的情況，并且保證了這個子段盡可能的長，也就是說掃描中記錄的sum就是以每一個點為結尾的最大子段和，每一次如果sum比ans大就可以更新ans 。最后ans就是整體的最大子段和。

1.3 代碼實現

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int inf = 0x7fffffff; int num[101]; int main(){int N;cin>>N;//讀入N和N個變量for(int i=0;i<N;i++){cin>>num[i];}int ans=-inf;//聲明ans并初始化for(int i=0;i<N;i++){//遍歷數組有沒有正數，并找出最大值ans=max(ans,num[i])}if(ans<=0){//若ans非負，輸出cout<<ans<<endl;}else{int sum=0;//聲明sum,并初始化為0for(int i=0;i<N;i++){if(sum+num[i]<0){//如果加上后為負數，就舍棄這一段重新開始sum=0;}else{//否則將sum加上num[i]sum+=0;}ans=max(ans,sum);//看看是否需要更新}}cout<<ans<<endl;return 0; }

2、最長上升子序列（LIS）

2.1 概念描述

在原序列取任意多項，在不改變他們原來數列的先后順序，得到的序列稱為原序列的子序列。最長上升子序列，就是給定的序列的最長的，數值從低到高排列的的子序列。

2.2 算法分析

所以我們需要描述一下這道題，很顯然這題用一維就可以去描述了，而這題的階段就是以第i項作為結尾端點的上升子序列（即dp[i]），而這題的狀態就是第i個位置的最長上升子序列的長度，決策的話就是第i個位置是否加入要計算的最長上升子序列(a[j]<a[i],j<i這樣的情況才能加入)，所以我們就可以推出來他的轉移方程：，其實這就是一個帶有最優子結構的遞推轉移方程，如果滿足加入最長上升子序列的條件后我們并不一定非得必須加入（因為之前還有可能有以他為結尾的更長的上升子序列）。需要注意的一點是我們需要用兩層for循環來找出他的最長上升子序列長度(因為最長上升子序列不是唯一的，所以每一個起點都要去試一下）。

這是遞推打表之后得到的模擬表：

2.3 代碼實現

#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; int dp[101],a[101],n; int LIS(){int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){dp[i]=1;for(int j=1;j<i;j++){if(a[j]<a[i]){dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);//狀態轉移方程}}ans=max(ans,dp[i]);//每次內層循環結束后更新ans的值}return ans; } int main(){cin>>n;for(int i;i<=n;i++){cin>>a[i];}cout<<LIS()<<endl;return 0; }

3、最長公共子序列

3.1 概念描述

給定兩個序列S1和S2，求兩者公共子序列S3的最長長度。

3.2 算法分析

這個題目可以按照序列的長度來劃分狀態，也就是S1的前i個字符和S2的前j個字符的最長公共子序列長度，記為lcs[i][j].
如果S1的第i項和S2 的第j項相同，那么S1[i]與S2[j]作為公共子序列的末尾，則
lcs[i][j]=lcs[i-1][j-1]+1
也可以不讓S1[i]與S2[j]作為公共子序列的末尾，則
lcs[i][j]=max(lcs[i][j-1],lcs[i-1][j])

不難證明：

max(lcs[i][j-1],Ics[i-1][j])< Ics[i-1][j-1]+1

那么轉移方程是:

舉一個例子，兩個序列 S1? = abcfbc和S2? = abfcab，根據轉移方程可以得出 lcs[i][j]

3.3 代碼實現

#include <iostream> #include <cstring> #include <string> using namespace std; int dp[110][110];//定義一個輔助數組 int main() {string a, b;memset(dp, 0, sizeof(dp));//將dp數組初始化cin >> a >> b;//輸入兩個字符串a、bint lena = a.size();//計算字符串a、b的長度int lenb = b.size();for (int i = 1; i <= lena; i++){for (int j = 1; j <= lenb; j++){if (a[i - 1] == b[j - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;//dp[i][j]代表a字符串的前i個字符串組成的子串和b字符串的前j個字符串組成的子串LCS}else{dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}cout << dp[lena][lenb] << endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LQ训练营(C++)学习笔记_常见动态规划模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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