二叉樹

二叉數(shù)是每個節(jié)點最多有兩個子樹,或者是空樹(n=0),或者是由一個根節(jié)點及兩個互不相交的,分別稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成。

滿二叉樹

有兩個非空子樹(二叉樹中的每個結(jié)點恰好有兩個孩子結(jié)點切所有葉子結(jié)點都在同一層)。

也就是一個結(jié)點要么是葉結(jié)點，要么是有兩個子結(jié)點的中間結(jié)點。

深度為k且含有2^k-1個結(jié)點的二叉樹。

完全二叉樹

從左到右依次填充。

從根結(jié)點開始，依次從左到右填充樹結(jié)點。

除最后一層外，每一層上的所有節(jié)點都有兩個子節(jié)點，最后一層都是葉子節(jié)點。

完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的，若設(shè)二叉樹的深度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結(jié)點數(shù)都達到最大個數(shù)(即1~h-1層為一個滿二叉樹)，第 h 層所有的結(jié)點都連續(xù)集中在最左邊，這就是完全二叉樹。

通過之前對二叉搜索樹介紹可知，將集合構(gòu)造為二叉搜索樹結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)下對樹中節(jié)點的查詢、刪除和插入三種操作，時間復(fù)雜度均為 。影響時間復(fù)雜度的因素即為二叉樹的高，為了盡量避免樹中每層上只有一個節(jié)點的情況，這里引入平衡二叉樹。

圖中第0層應(yīng)為第一層

樹的深度：從根節(jié)點開始（其深度為0）自頂向下逐層累加的。上圖中，13的深度是1，30的深度是2，28的深度是3。(圖中第0層應(yīng)為第一層)

樹的高度：從葉子節(jié)點開始（其高度為0）自底向上逐層累加的。54的高度是2，根節(jié)點23的高度是3。(圖中第0層應(yīng)為第一層)

對于樹中相同深度的每個節(jié)點來說，它們的高度不一定相同，這取決于每個節(jié)點下面的葉子節(jié)點的深度。上圖中，13和54的深度都是1，但是13的高度是1，54的高度是2。

定義

平衡二叉樹也叫自平衡二叉搜索樹（Self-Balancing Binary Search Tree），所以其本質(zhì)也是一顆二叉搜索樹，不過為了限制左右子樹的高度差，避免出現(xiàn)傾斜樹等偏向于線性結(jié)構(gòu)演化的情況，所以對二叉搜索樹中每個節(jié)點的左右子樹作了限制，左右子樹的高度差稱之為平衡因子，樹中每個節(jié)點的平衡因子絕對值不大于

，此時二叉搜索樹稱之為平衡二叉樹。

自平衡是指，在對平衡二叉樹執(zhí)行插入或刪除節(jié)點操作后，可能會導(dǎo)致樹中某個節(jié)點的平衡因子絕對值超過

，即平衡二叉樹變得“不平衡”，為了恢復(fù)該節(jié)點左右子樹的平衡，此時需要對節(jié)點執(zhí)行旋轉(zhuǎn)操作。

情景分析

當(dāng)插入一個元素使平衡二叉樹不平衡時，可能出現(xiàn)以下的四種情況：

LL：稱為"左左"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的左子樹的左子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。

例如，在上面LL情況中，由于"根節(jié)點(8)的左子樹(4)的左子樹(2)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的右子樹(12)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的左子樹(4)高度"比"根節(jié)點(8)的右子樹(12)"高2。

LR：稱為"左右"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的左子樹的右子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的左子樹的高度"比"根的右子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。

例如，在上面LR情況中，由于"根節(jié)點(8)的左子樹(4)的左子樹(6)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的右子樹(12)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的左子樹(4)高度"比"根節(jié)點(8)的右子樹(12)"高2。

RL：稱為"右左"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的右子樹的左子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。

例如，在上面RL情況中，由于"根節(jié)點(8)的右子樹(12)的左子樹(10)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的左子樹(4)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的右子樹(12)高度"比"根節(jié)點(8)的左子樹(4)"高2。

RR：稱為"右右"。插入或刪除一個節(jié)點后，根節(jié)點的右子樹的右子樹還有非空子節(jié)點，導(dǎo)致"根的右子樹的高度"比"根的左子樹的高度"大2，導(dǎo)致AVL樹失去了平衡。

例如，在上面RR情況中，由于"根節(jié)點(8)的右子樹(12)的右子樹(14)還有非空子節(jié)點"，而"根節(jié)點(8)的左子樹(4)沒有子節(jié)點"；導(dǎo)致"根節(jié)點(8)的右子樹(12)高度"比"根節(jié)點(8)的左子樹(4)"高2。

下面根據(jù)上面的四種情況來具體看修復(fù)的辦法。

LL旋轉(zhuǎn)

當(dāng)平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面LL的情況時，可以用下面的一次調(diào)整使其恢復(fù)平衡。

從上圖看出，只需要將高度較大的左子樹的根節(jié)點作為其父節(jié)點，然后，將其父節(jié)點作為右子樹的根節(jié)點；這時，原來左子樹的右子樹需要移動到現(xiàn)在的右子樹下，作為其左子樹。

RR旋轉(zhuǎn)

當(dāng)平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面RR的情況時，可以用下面的一次調(diào)整使其恢復(fù)平衡。

從上圖看出，只需要將高度較大的右子樹的根節(jié)點作為其父節(jié)點，然后，將其父節(jié)點作為左子樹的根節(jié)點；這時，原來右子樹的左子樹需要移動到現(xiàn)在的左子樹下，作為其右子樹。

LR旋轉(zhuǎn)

當(dāng)平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面LR的情況時，可以用下面的兩次調(diào)整使其恢復(fù)平衡。

如上圖，先將k1為樹根的子樹向左旋轉(zhuǎn)，即和前面的RR調(diào)整的方向類似，然后在將以k3為樹根的子樹向右旋轉(zhuǎn)。

RL旋轉(zhuǎn)

當(dāng)平衡二叉樹失去平衡，顯示出上面RL的情況時，可以用下面的兩次調(diào)整使其恢復(fù)平衡。

如上圖，先將k3為樹根的子樹向右旋轉(zhuǎn)，即和前面的LL調(diào)整的方向類似，然后在將以k1為樹根的子樹向左旋轉(zhuǎn)。

性能分析

因為平衡二叉樹也是二叉搜索樹，回顧二叉搜索樹中的操作復(fù)雜度，查詢、插入和刪除復(fù)雜度均為 。平衡二叉樹中查詢復(fù)雜度影響因素自然為樹的高度；插入節(jié)點操作可以拆分為兩個步驟：查詢節(jié)點位置，插入節(jié)點后平衡操作；刪除節(jié)點操作同理可以拆分為兩個步驟：查詢節(jié)點位置，刪除節(jié)點后平衡操作。 平衡調(diào)節(jié)過程中可能存在旋轉(zhuǎn)操作，遞歸執(zhí)行的次數(shù)則依賴于樹的高度（可以優(yōu)化為當(dāng)前節(jié)點平衡因子不發(fā)生變化，則取消向上遞歸）。所以平衡二叉樹中查詢、插入和刪除節(jié)點操作的復(fù)雜度依賴于樹高。

代碼

給定一個二叉樹，判斷它是否是高度平衡的二叉樹。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的c++ 删除二叉树的子树_平衡二叉树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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