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欧拉函数最全总结(欧冠积分射手榜)

發布時間：2023/12/15 综合教程 32 生活家

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了欧拉函数最全总结(欧冠积分射手榜) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

歐拉函數的內容

歐拉函數的引入
歐拉函數的定義
歐拉函數的基本性質
歐拉函數的計算方法
歐拉函數的相關定理以及證明
歐拉函數的應用

一、歐拉函數的引入

首先引入互質關系：

如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關系（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關系。這說明，不是質數也可以構成互質關系。

其次引進縮系得概念：

在與模數m互素的全部剩余類中，各取一數所組成的集叫做模數m的一組縮系。

在討論縮系的過程中，需要引入一個常用的數論函數–歐拉函數φ(n)。

請思考以下問題：  

  任意給定正整數n，請問在小于等于n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關系？）

計算這個值的方法就叫做歐拉函數，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

二、歐拉函數的定義

定義： 歐拉函數φ(n)是一個定義在正整數集上得函數，φ(n)的值等于序列0，1，2，…，n-1中與n互素的數的個數。

此函數以其首名研究者歐拉命名(Euler’s totient function)，它又稱為Euler’s totient function、φ函數、歐拉商數等。

特別的，φ(1)=1（和1互質的數(小于等于1)就是1本身）。

函數表：

三、歐拉函數的性質

當p是素數時，φ§=p-1。
歐拉函數是積性函數,但不是完全積性函數。

當且只當n可以分解成兩個互質的整數之積，n = p1 × p2，則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

特別的，對于兩個素數p,q， φ(pq)=(p-1)(q-1)。(RSA算法應用）
當n＞2時,φ(n)都是偶數，也即φ(n)≡0（mod2)。

簡單證明，因為若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^k-1=(p-1)p^k-1
當p為2時，p^k-1必為偶數;
當p＞2時，(p-1)必為偶數。

四、歐拉函數的計算方法

（一）素數分解法

1.對于一個正整數N的素數冪分解N=P₁^q₁P₂^q₂…P_n^q_n，其中，Pi為素數（1≤i≤n)。

根據第二條性質得到：

φ(N)=φ(P₁^q₁P₂^q₂…P_n^q_n)=φ(P₁^q)φ(P₂^q₂)…φ(P_n^q_n)

注意：每種質因數只有一個。
若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^k-1=(p-1)p^k-1，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

簡單證明：φ(n)=p^k-p^k-1=(p-1)p^k-1

證明：
由φ(n)的定義值，φ(p^k)等于從p^k減去在1，…，p^k中與p不互素的數的個數。因為p是素數，故φ(p^k)等于從p^k減去在1，…，p^k中被p整除的數的個數。而在
1，…，p，p+1，…，2p，…，p^a-1 * p
中，易知p的倍數共有p^a-1個，即得φ(n)=p^k-p^k-1=(p-1)p^k-1
證完

（二）編程思維

利用歐拉函數和它本身不同質因數的關系，用篩法計算出某個范圍內所有數的歐拉函數值。

歐拉函數和它本身不同質因數的關系：

歐拉函數: φ(N)=N{∏p|N}(1-1/p)

亦即: φ ( N ) = N ? ∏ ( 1 ? 1 / p ) （ P 是數 N 的質因數） φ(N)=N* ∏(1-1/p)（P是數N的質因數） φ(N)=N?∏(1?1/p)（P是數N的質因數）
如：
φ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4； 10的質因數為2，5；
φ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8； 30的質因數為2，3，5；
φ（49）=49×（1－1/7）=42。 49的質因數為7。

1.求n以內的所有素數

#l[]
def prime(n):
    #global l=[] # 全局變量
    global l
    l=[]
    for x in range(n):
    #判斷如果ｘ是素數，則打印，如果不是素數就跳過
        if x <2:
            continue
        for i in range(2,x):
            if x % i == 0:
                break
        else:
            l.append(x)
    print(l)
    
prime(100)

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

2.求φ(n)

def phi(n):
    ans=n
    for i in l:
        if(n%i==0):
            ans=ans*(1-1/i)#等價于通項，把n乘進去
           
    return (int(ans))
phi(100)

#for i in range(1,10):
   # print(phi(i))

3.格式化輸出0-100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）

步驟一：輸出表頭和表格橫向數值

print("{:>40}".format("0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）"))
print()
print ("{:>6}".format("φ(n)"),end='')
for x in range(0,10):
    print ("{:>6}".format(x),end='')

          0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）

  φ(n)     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9

步驟二：輸出表格橫向和縱向數值

print("{:>40}".format("0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）"))
print()
print ("{:>6}".format("φ(n)"),end='')
for x in range(0,10):
    print ("{:>6}".format(x),end='')

for x in range(0,10):
    print ("\n")
    print ("{:>6}".format(str(x)+"?"),end='')

          0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）

  φ(n)     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9

    0?

    1?

    2?

    3?

    4?

    5?

    6?

    7?

    8?

    9?

步驟三：輸出最終效果

import termcolor
#title=termcolor.colored("0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）",'white','on_red',['bold'])
title=termcolor.colored("0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）",color=None,on_color=None,attrs=['bold']) #加粗
print("{0:^70}".format(title))
print()
print ("{:>7}".format("φ(n)"),end='')
for x in range(0,10):
    print ("{:>7}".format(x),end='')

for x in range(0,10):
    a=x*10
    print ("\n")
    print ("{:>8}".format(str(x)+"?"),end='')
    for y in range(0+a,10+a):
        print("{0:>7}".format(phi(y)),end='')

print()
print()
#print("φ(100)=",phi(100))
print("{:>40}{:}".format("φ(100)=",phi(100)))

                0~100歐拉函數表（“x?”代表十位數，“x”代表個位數）              

   φ(n)      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9

      0?      0      1      1      2      2      4      2      6      4      6

      1?      4     10      4     12      6      8      8     16      6     18

      2?      8     12     10     22      8     20     12     18     12     28

      3?      8     30     16     20     16     24     12     36     18     24

      4?     16     40     12     42     20     24     22     46     16     42

      5?     20     32     24     52     18     40     24     36     28     58

      6?     16     60     30     36     32     48     20     66     32     44

      7?     24     70     24     72     36     40     36     60     24     78

      8?     32     54     40     82     24     64     42     56     40     88

      9?     24     72     44     60     46     72     32     96     42     60

                                 φ(100)=40

五、歐拉函數相關定理以及證明

（一）定理1：縮系與歐拉函數的關系

模數m的一組縮系含有φ(m)個數。

（二）定理2：縮系的充要條件

若a₁，…，a_φ(m)是φ(m)個與m互素的整數，則a₁，…，a_φ(m)是模數m的一組縮系的充要條件是它們兩兩對模數m不同余。

定理1和定理2，根據縮系和歐拉函數的定義顯然成立。

（三）定理3：縮系拓展

若(a,m)=1,x通過模數m的縮系，則ax也通過模數m的縮系。

證：當x通過模數m的縮系，則ax通過φ(m)個整數，由于(a,m)=1，(x,m)=1，故(ax,m)=1。若ax₁≡ax₂(mod m)，可得x₁≡x₂(mod m)，與所設x通過模數m的縮系矛盾，故ax通過模數m的縮系。
證完

特別說明：根據定理：整數a,b對模數m同余的充分必要條件是m|a-b.
易得，ax₁≡ax₂(mod m)的充分必要條件是m|ax₁-ax₂=a(x₁-x₂)，
又因為，(ax,m)=1，所有當且僅當，x₁≡x₂(mod m)，結論成立。

1. 簡單證明：(a,m)=1，(x,m)=1，故(ax,m)=1。

①：當m=0時，a=±1,結論成立。
②：當a=0時，m=±1，且(0,m)=(0,m)，結論成立。
③：當am≠0時，(a,m)=(a(x,m),m)=((ax,am),m)=(ax,m(a,1))=(ax,m)，結論成立。
證完

（四）定理4：設m＞1，(a,m)=1,則a^φ(m)≡1(mod m).

證：設 r₁，r₂，…，r_φ(m)是模數m的一組縮系，則由定理3，ar₁，ar₂，…，ar_φ(m)也是模數m的一組縮系，故
（ar₁)(ar₂)…(ar_φ(m))≡r₁r₂…r_φ(m)(mod m)，
即
a^φ(m)r₁r₂…r_φ(m)≡r₁r₂…r_φ(m)(mod m) ①
由于
（r_i,m)=1，i=1,2,…,φ(m),
故
(r₁r₂…r_φ(m)，m)=1. ②
根據定理：若ac≡bc(mod m),且若(m,c)則a≡b(mod m/d). 再由②和①得
a^φ(m)≡1(mod m).
證完

1. 若ac≡bc(mod m),且若(m,c)則a≡b(mod m/d).

簡單證明：
因為m|c(a-b)，故m/d|c/d(a-b),又因（m/d,c/d)=1,便知m/d|(a-b).
證完

（五）定理5：若p是素數，則對于每個整數a，有a^p≡a(mod p).

由定理4立刻推得定理5，它通常叫做費馬小定理。

簡單證明：
①：若a不是p的倍數，又因p為素數，則有(a,p)=1,
則由歐拉定理可得，也即定理4，a^φ(m)≡1(mod m)，
又根據性質1，得到φ§=p-1，所以a^p-1≡1(mod p),
等式兩邊乘以a，可得a^p≡a(mod p).
②：若a是p的倍數，也即不互質，a(mod p)≡a^p(mod p)≡0,
可以表示為：a^p≡a(mod p).
證完

（六）定理6：設m₁＞0，m₂＞0，(m₁,m₂)=1，x₁,x₂分別通過模數m₁,m₂的縮系，則m₂x₁+m₁x₂通過模數m₁m₂的縮系.

反之，凡與m₁m₂互素之a有

a≡m₂x₁+m₁x₂(mod m₁m₂),(x₁,m₁)=(x₂,m₂)=1. ③

這是因為，由定理:設m₁＞0，m₂＞0，(m₁,m₂)=1，而x₁,x2分別通過模數m₁,m2的完全剩余系，則m₂x₁+m₁x₂通過模數m₁m₂的完全剩余系. 知有x₁和x₂使a≡m₂x₁+m₁x₂(mod m₁m₂)，所以只需證明當(a,m₁m₂)=1時，（x₁,m₁)=(x₂,m₂)=1。如果（x₁,m₁)>1，則有素數q，q|x₁，q|m₁。而a≡m₂x₁+m₁x₂(mod m₁m₂)，由此推出q|a，與(a,m₁m₂)=1矛盾，故（x₁,m₁)=1。同理可證(x₂,m₂)=1。

最后，再由設m₁＞0，m₂＞0，(m₁,m₂)=1，而x₁,x₂分別通過模數m₁,m₂的完全剩余系，則m₂x₁+m₁x₂通過模數m₁m₂的完全剩余系. 知m₂x₁+m₁x₂中任兩個對模數m₁m₂不同余。
證完

由定理6，立得
推論: 若（m₁,m₂)=1,則φ(m₁m₂)=φ(m₁)φ(m₂).

（七）定理7：歐拉函數的一般計算方法

對于一個正整數n的素數冪分解n=P₁^q1P₂^q2…P_n^qn，其中，Pi為素數（1≤i≤n)，則φ(n)=n(1-1/P₁)…(1-1/P_n).

證明過程參考1.4.1以及定理6的推論。

六、歐拉函數的應用

（一）應用一：證明相關題目

證明：設n≥1，則有∑φ(n)=n，其中d|n，d＞0.

證：對于一個正整數n的素數冪分解n=P₁^q₁P₂^q₂…P_n^q_n，其中，Pi為素數（1≤i≤n)，d|n。

d=∑∑…∑P₁^x₁P₂^x₂…P_n^x_n(0≤x₁≤q₁,0≤x₂≤q₂,…,0≤x_n≤q_n)

所以，∑φ(n)=∑∑…∑φ(P₁^x₁P₂^x₂…P_n^x_n)(0≤x₁≤q₁,0≤x₂≤q₂,…,0≤x_n≤q_n)

根據推論6可得
∑φ(n)=∑φ(P₁^x₁) ∑φP₂^x₂) … ∑φ(P_n^x_n) (0≤x₁≤q₁,0≤x₂≤q₂,…,0≤x_n≤q_n)

根據1.4.1展開得

=[1+(P₁ -1)+(P₁²-P₁)…(P₁^q₁-P₁^q_₁-1)]
[1+(P₂ -1)+(P₂²-P₂)…(P₂^q₂-P₂^q_₂-1)]
…
[1+(P_n -1)+(P_n²-P_n)…(P_n^q_n-P_n^q_{_n-1})]
=P₁^q1P₂^q2…P_n^qn
=n
證完

（二）應用二：求原根個數以及全部原根

1. 原根個數

若模m有原根，則原根共有φ(φ(m))個。

2. 全部原根

特別地，若m=p為素數，則模p共有φ(p-1)個原根，并且若g為模p的一個原根，則模p的全部原根為{g^k|1≤k≤φ( p ),(φ( p ), k)=1}。

（三）應用三：RSA算法

RSA算法的具體描述如下：
（1）任意選取兩個不同的大素數p和q計算乘積n=pq,φ(n)=(p-1)(q-1) ；

（2）任意選取一個大整數e，滿足gcd(e,φ(n))=1 ，整數e用做加密鑰（注意：e的選取是很容易的，例如，所有大于p和q的素數都可用）；

（3）確定的解密鑰d，滿足 (de)modφ(n)=1，即de=kφ(n)+1,k≥1 是一個任意的整數；所以，若知道e和φ(n)，則很容易計算出d；

（4）公開整數n和e，秘密保存d；

（5）將明文m（m<n是一個整數）加密成密文c，加密算法為

c=E(m)=m^emodn

（6）將密文c解密為明文m，解密算法為

m=D( c )=c^dmodn

? 然而只根據n和e（注意：不是p和q）要計算出d是不可能的。因此，任何人都可對明文進行加密，但只有授權用戶（知道d）才可對密文解密。

測試

（一）termcolor庫的使用

import termcolor

dir(termcolor)

['ATTRIBUTES',
 'COLORS',
 'HIGHLIGHTS',
 'RESET',
 'VERSION',
 '__ALL__',
 '__builtins__',
 '__cached__',
 '__doc__',
 '__file__',
 '__loader__',
 '__name__',
 '__package__',
 '__spec__',
 'colored',
 'cprint',
 'os',
 'print_function']

help(termcolor)

Help on module termcolor:

NAME
    termcolor - ANSII Color formatting for output in terminal.

FUNCTIONS
    colored(text, color=None, on_color=None, attrs=None)
        Colorize text.
        
        Available text colors:
            red, green, yellow, blue, magenta, cyan, white.
        
        Available text highlights:
            on_red, on_green, on_yellow, on_blue, on_magenta, on_cyan, on_white.
        
        Available attributes:
            bold, dark, underline, blink, reverse, concealed.
        
        Example:
            colored('Hello, World!', 'red', 'on_grey', ['blue', 'blink'])
            colored('Hello, World!', 'green')
    
    cprint(text, color=None, on_color=None, attrs=None, **kwargs)
        Print colorize text.
        
        It accepts arguments of print function.

DATA
    ATTRIBUTES = {'blink': 5, 'bold': 1, 'concealed': 8, 'dark': 2, 'rever...
    COLORS = {'blue': 34, 'cyan': 36, 'green': 32, 'grey': 30, 'magenta': ...
    HIGHLIGHTS = {'on_blue': 44, 'on_cyan': 46, 'on_green': 42, 'on_grey':...
    RESET = '\x1b[0m'
    VERSION = (1, 1, 0)
    __ALL__ = ['colored', 'cprint']
    print_function = _Feature((2, 6, 0, 'alpha', 2), (3, 0, 0, 'alpha', 0)...

?
?

print(termcolor.colored("error","red"))

[31merror[0m

print(termcolor.colored("error","red",'on_red',['red', 'bold']))

---------------------------------------------------------------------------

KeyError                                  Traceback (most recent call last)

<ipython-input-125-7c06270d31d5> in <module>
----> 1 print(termcolor.colored("error","red",'on_red',['red', 'bold']))


c:\users\tianjie\test1\lib\site-packages\termcolor.py in colored(text, color, on_color, attrs)
    110         if attrs is not None:
    111             for attr in attrs:
--> 112                 text = fmt_str % (ATTRIBUTES[attr], text)
    113 
    114         text += RESET


KeyError: 'red'

from termcolor import colored, cprint

text = colored('Hello, World!', 'white','on_red',attrs=['reverse', 'bold'])
print(text)
cprint('Hello, World!', 'green', 'on_red')

[1m[7m[41m[37mHello, World![0m
[41m[32mHello, World![0m

（二）全局變量和局部變量

聲明和定義不能同時進行

a=2
#print(a)
def sum(b):
    #print(a) #會報錯
    #global a=3 #會報錯
    global a  #聲明
    a=3
    print(a)
    
print(a)

sum(5)

sum(6)

2
3
3

a=2
print(a)
def sum(b):
    #print(a) #會報錯
    #global a=3 #會報錯
    global a  #聲明
    a=3
    print(a)
    
print(a)  #調用前 
sum(5)    
print(a)  #調用后



sum(6)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的欧拉函数最全总结(欧冠积分射手榜)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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