橢圓曲線加密算法，簡稱ECC，是基于橢圓曲線數(shù)學理論實現(xiàn)的一種非對稱加密算法。相比RSA，ECC優(yōu)勢是可以使用更短的密鑰，來實現(xiàn)與RSA相當或更高的安全，RSA加密算法也是一種非對稱加密算法，在公開密鑰加密和電子商業(yè)中RSA被廣泛使用。據(jù)研究，160位ECC加密安全性相當于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當于2048位RSA加密（有待考證）。

比特幣Bitcoin使用了 secp256k1這條特殊的橢圓曲線：

一、阿貝爾群

橢圓曲線也可以有運算，像實數(shù)的加減乘除一樣，這就需要使用到加群。19世紀挪威的尼爾斯·阿貝爾抽象出了加群（又叫阿貝爾群或交換群）。數(shù)學中的群是一個集合，我們?yōu)樗x了一個“加法”，并用符號+表示。假定群用 表示，則加法必須遵循以下四個特性：

• 封閉性：如果a和b都是 的成員，那么a+b也是 的成員；
• 結(jié)合律：(a + b) + c = a + (b + c);
• 單位元：a+0=0+a=a，0就是單位元；
• 逆元：對于任意值a必定存在b，使得a+b=0。

如果再增加一個條件，交換律：a + b = b + a，則稱這個群為阿貝爾群，根據(jù)這個定義整數(shù)集是個阿貝爾群。

二、橢圓曲線的加法

過曲線上的兩點A、B畫一條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關(guān)于x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。如下圖所示：A + B = C

三、橢圓曲線的二倍運算

上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況，因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關(guān)于x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。

四、同余運算

同余就是有相同的余數(shù)，兩個整數(shù) a、 b，若它們除以正整數(shù) m所得的余數(shù)相等，則稱 a， b對于模m同余。

五、有限域

橢圓曲線是連續(xù)的，并不適合用于加密；所以必須把橢圓曲線變成離散的點，要把橢圓曲線定義在有限域上。而橢圓曲線密碼所使用的橢圓曲線是定義在有限域內(nèi)，有限域最常見的例子是有限域GF(p)，指給定某質(zhì)數(shù)p，由0,1,2...p-1共p個元素組成的整數(shù)集合中加法、二倍運算。例如GF(233)就是

六、乘法逆元

在模7乘法中：

• 1的逆元為1 (1*1)%7=1
• 2的逆元為4 (2*4)%7=1
• 3的逆元為5 (3*5)%7=1
• 4的逆元為2 (4*2)%7=1
• 5的逆元為3 (5*3)%7=1
• 6的逆元為6 (6*6)%7=1

七、數(shù)學解釋

并不是所有的橢圓曲線都適合加密，

是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。

針對曲線Ep(a,b)表示為

該曲線關(guān)于x軸對稱。選擇兩個滿足下列條件的小于p(p為素數(shù))的非負整數(shù)a、b，要求滿足以下條件

1、有限域的負元

的負元是
2、有限域的加法，

, 和 三點（其中R是PQ直線與曲線的交點的關(guān)于x軸的對稱點，即 ）有如下關(guān)系：

3、斜率計算（P=Q即要計算P點切線，需要求導）

若

，則
若 ，則

該公式可以自己推導，為了方便理解，可以套用以上公式，解決以下例題。

例：已知

上兩點 ， ，求1) ，2) ，3)

解：1)

的負元是

2)

, ，因為 所以2的乘法逆元為12， 故 k=11。 故的坐標為

3)

， ,因為，5的乘法逆元為14，故k=6。 故 的坐標為

八、橢圓曲線加解密算法原理

設私鑰、公鑰分別為d、Q，即Q = dG，其中G為基點，橢圓曲線上的已知G和dG，求d是非常困難的，也就是說已知公鑰和基點，想要算出私鑰是非常困難的。公鑰加密：選擇隨機數(shù)r，將消息M生成密文C，該密文是一個點對，C = {rG, M+rQ}，其中Q為公鑰。私鑰解密：M + rQ - d(rG) = M + r(dG) - d(rG) = M，其中d、Q分別為私鑰、公鑰。

九、橢圓曲線簽名算法原理

橢圓曲線簽名算法(ECDSA)。設私鑰、公鑰分別為d、Q，即Q = dG，其中G為基點。

私鑰簽名：

• 選擇隨機數(shù)r，計算點rG(x, y)。
• 根據(jù)隨機數(shù)r、消息M的哈希h、私鑰d，計算s = (h + dx)/r。　　
• 將消息M、和簽名{rG, s}發(fā)給接收方。

公鑰驗證簽名：　　

• 接收方收到消息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。　　
• 根據(jù)消息求哈希h。　　
• 使用發(fā)送方公鑰Q計算：hG/s + xQ/s，并與rG比較，如相等即驗簽成功。
  原理：hG/s + xQ/s = hG/s + x(dG)/s = (h+xd)G/s = r(h+xd)G / (h+dx) = rG

10、簽名過程

假設要簽名的消息是一個字符串：“Hello World!”。DSA簽名的第一個步驟是對待簽名的消息生成一個消息摘要，不同的簽名算法使用不同的消息摘要算法，而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。

摘要生成結(jié)束后，應用簽名算法對摘要進行簽名：

• 產(chǎn)生一個隨機數(shù)k
• 利用隨機數(shù)k，計算出兩個大數(shù)r和s。將r和s拼在一起就構(gòu)成了對消息摘要的簽名。
  這里需要注意的是，因為隨機數(shù)k的存在，對于同一條消息，使用同一個算法，產(chǎn)生的簽名是不一樣的。從函數(shù)的角度來理解，簽名函數(shù)對同樣的輸入會產(chǎn)生不同的輸出。因為函數(shù)內(nèi)部會將隨機值混入簽名的過程。

11、驗證過程

關(guān)于驗證過程，這里不討論它的算法細節(jié)。從宏觀上看，消息的接收方從簽名中分離出r和s，然后利用公開的密鑰信息和s計算出r。如果計算出的r和接收到的r值相同，則表示驗證成功，否則，表示驗證失敗。

12、數(shù)值計算Demo實現(xiàn)

# -*- coding:utf-8 -*-def get_inverse(value, p):"""求逆元:param value: 待求逆元的值:param p: 模數(shù)"""for i in range(1, p):if (i * value) % p == 1:return ireturn -1def get_gcd(value1, value2):"""輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù):param value1::param value2:"""if value2 == 0:return value1else:return get_gcd(value2, value1 % value2)def get_PaddQ(x1, y1, x2, y2, a, p):"""計算P+Q:param x1: P點橫坐標:param y1: P點縱坐標:param x2: Q點橫坐標:param y2: Q點縱坐標:param a: 曲線參數(shù):param p: 曲線模數(shù)"""flag = 1 # 定義符號位(+/-)# 如果P=Q，斜率k=(3x^2+a)/2y mod pif x1 == x2 and y1 == y2:member = 3 * (x1 ** 2) + a # 分子denominator = 2 * y1 # 分母# 如果P≠Q(mào)， 斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) mod pelse:member = y2 - y1denominator = x2 - x1if member * denominator < 0:flag = 0 # 表示負數(shù)member = abs(member)denominator = abs(denominator)# 化簡分子分母gcd = get_gcd(member, denominator) # 最大公約數(shù)member = member // gcddenominator = denominator // gcd# 求分母的逆元inverse_deno = get_inverse(denominator, p)# 求斜率k = (member * inverse_deno)if flag == 0:k = -kk = k % p# 計算P+Q=(x3,y3)x3 = (k ** 2 - x1 - x2) % py3 = (k * (x1 - x3) - y1) % preturn x3, y3def get_order(x0, y0, a, b, p):"""計算橢圓曲線的階"""x1 = x0 # -P的橫坐標y1 = (-1 * y0) % p # -P的縱坐標temp_x = x0temp_y = y0n = 1while True:n += 1# 累加P,得到n*P=0∞xp, yp = get_PaddQ(temp_x, temp_y, x0, y0, a, p)# 如果(xp,yp)==-P，即(xp,yp)+P=0∞，此時n+1為階數(shù)if xp == x1 and yp == y1:return n + 1temp_x = xptemp_y = ypdef get_dot(x0, a, b, p):"""計算P和-P"""y0 = -1for i in range(p):# 滿足適合加密的橢圓曲線條件，Ep(a,b)，p為質(zhì)數(shù)，x,y∈[0,p-1]if i ** 2 % p == (x0 ** 3 + a * x0 + b) % p:y0 = ibreak# 如果找不到合適的y0返回Falseif y0 == -1:return False# 計算-yx1 = x0y1 = (-1 * y0) % preturn x0, y0, x1, y1def get_graph(a, b, p):"""畫出橢圓曲線散點圖"""xy = []# 初始化二維數(shù)組for i in range(p):xy.append(['-' for i in range(p)])for i in range(p):value = get_dot(i, a, b, p)if value is not False:x0, y0, x1, y1 = valuexy[x0][y0] = 1xy[x1][y1] = 1print('橢圓曲線散點圖：')for i in range(p):temp = p - 1 - iif temp >= 10:print(temp, end='')else:print(temp, end='')# 輸出具體坐標值for j in range(p):print(xy[j][temp], end='')print()print(' ', end='')for i in range(p):if i >= 10:print(i, end='')else:print(i, end='')print()def get_nG(xG, yG, priv_key, a, p):"""計算nG"""temp_x = xGtemp_y = yGwhile priv_key != 1:temp_x, temp_y = get_PaddQ(temp_x, temp_y, xG, yG, a, p)priv_key -= 1return temp_x, temp_ydef get_KEY():"""生成公鑰私鑰"""# 選擇曲線方程while True:a = int(input('輸入橢圓曲線參數(shù)a（a>0）的值：'))b = int(input('輸入橢圓曲線參數(shù)b（b>0）的值：'))p = int(input('輸入橢圓曲線參數(shù)p（p為素數(shù)）的值：'))# 滿足曲線判別式if (4 * (a ** 3) + 27 * (b ** 2)) % p == 0:print('輸入的參數(shù)有誤，請重新輸入！n')else:break# 輸出曲線散點圖get_graph(a, b, p)# 選擇基點Gprint('在上圖坐標系中選擇基點G的坐標')xG = int(input('橫坐標xG：'))yG = int(input('縱坐標yG：'))# 獲取曲線的階n = get_order(xG, yG, a, b, p)# 生成私鑰key，且key<npriv_key = int(input('輸入私鑰key(<%d)：' % n))# 生成公鑰KEYxK, yK = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p)return xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yGdef encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n):"""加密"""k = int(input('輸入一個整數(shù)k(<%d)用于計算kG和kQ：' % n))kGx, kGy = get_nG(xG, yG, priv_key, a, p) # kGkQx, kQy = get_nG(xK, yK, priv_key, a, p) # kQplain = input('輸入需要加密的字符串：')plain = plain.strip()c = []print('密文為：', end='')for char in plain:intchar = ord(char)cipher = intchar * kQxc.append([kGx, kGy, cipher])print('(%d,%d),%d' % (kGx, kGy, cipher), end=' ')print()return cdef decrypt(c, priv_key, a, p):"""解密"""for charArr in c:kQx, kQy = get_nG(charArr[0], charArr[1], priv_key, a, p)print(chr(charArr[2] // kQx), end='')print()if __name__ == '__main__':xK, yK, priv_key, a, b, p, n, xG, yG = get_KEY()c = encrypt(xG, yG, xK, yK, priv_key, a, p, n)decrypt(c, priv_key, a, p)

總結(jié)

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