設(shè)想你正駕駛飛機(jī)執(zhí)行秘密任務(wù)。你要如何才能盡量避免被地面上的敵人用雷達(dá)發(fā)現(xiàn)呢？這是個(gè)被數(shù)學(xué)家，行業(yè)專(zhuān)家以及國(guó)防科學(xué)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室（DSTL）成員在近期一次會(huì)議中共同討論的問(wèn)題。工作組用精密的數(shù)學(xué)給出了這一棘手的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決方案，而大概的想法是受到了一些基礎(chǔ)幾何學(xué)的啟發(fā)產(chǎn)生的。這正是本文想分享的內(nèi)容。

基本規(guī)則

讓我們考慮下面的這種略微簡(jiǎn)化的情況。設(shè)想一個(gè)包含發(fā)射臺(tái)（transmitter）的雷達(dá)系統(tǒng)，其中發(fā)射臺(tái)可以發(fā)送短促的向四面八方傳播的雷達(dá)脈沖。這種脈沖被稱(chēng)為聲脈沖。雷達(dá)系統(tǒng)還包含著多個(gè)可以探測(cè)聲脈沖的接收臺(tái)（receivers）。每一個(gè)接收臺(tái)都知道距離發(fā)射臺(tái)有多遠(yuǎn)，以及知道發(fā)射臺(tái)發(fā)出聲脈沖的準(zhǔn)確時(shí)間。

現(xiàn)在想象你所駕駛的飛機(jī)在發(fā)射臺(tái)和接收臺(tái)的探測(cè)范圍內(nèi)。當(dāng)雷達(dá)脈沖碰到飛機(jī)后會(huì)向許多不同的方向散射。如果一個(gè)接收臺(tái)在反射的聲脈沖的傳播路徑上，它就會(huì)監(jiān)測(cè)到這個(gè)聲脈沖。由于相較直接傳播到接收臺(tái)的聲脈沖，經(jīng)過(guò)反射到達(dá)接收臺(tái)的聲脈沖所走過(guò)的路程更遠(yuǎn)，后者自然更晚到達(dá)接收臺(tái)，接收臺(tái)因此可以分辨出哪一個(gè)是經(jīng)過(guò)反射到達(dá)的信號(hào)。而反射的聲脈沖所走過(guò)的總路程正是發(fā)射臺(tái)和飛機(jī)距離加上接收臺(tái)和飛機(jī)距離。

你駕駛的飛機(jī)在天上，而雷達(dá)系統(tǒng)在地上，因此我們面對(duì)的是一個(gè)三維空間中的問(wèn)題。為了簡(jiǎn)化該問(wèn)題，我們假設(shè)只在二維空間考慮這一問(wèn)題。這意味著你駕駛的飛機(jī)也在地面上飛！當(dāng)然實(shí)際情況不會(huì)是這樣，但是這種簡(jiǎn)化并不會(huì)影響我們想解決的問(wèn)題。我們可以將這一情形推廣回三維，這將在下一節(jié)的最后實(shí)現(xiàn)。

它們?nèi)绾味ㄎ荒?/h2>

現(xiàn)在想象一個(gè)接收臺(tái)探測(cè)到了經(jīng)一個(gè)物體反射后的聲脈沖。聲脈沖是以光速 c，即每秒 30 萬(wàn)千米的速度運(yùn)動(dòng)的。之所以是這樣，因?yàn)槔走_(dá)發(fā)射的無(wú)線電波本質(zhì)上與可見(jiàn)光一樣，都是一種電磁輻射，所以都以光速行進(jìn)。

由于接收臺(tái)知道發(fā)射臺(tái)發(fā)出信號(hào)的準(zhǔn)確時(shí)間，只需查看是何時(shí)收到的信號(hào)就可以算出聲脈沖傳播了多久。

用傳播時(shí)間 t 乘以傳播速度 c 就得到了聲脈沖的傳播距離 d，即

而在前面已經(jīng)解釋過(guò)，這個(gè)距離 d 等于發(fā)射臺(tái)與物體距離和接收臺(tái)與物體距離之和。

這意味著該物體（比如你駕駛的飛機(jī)）可能在的位置需要滿(mǎn)足這樣的條件：到發(fā)射臺(tái)和接收臺(tái)的距離之和為 d。早在雷達(dá)被發(fā)明以前，古希臘人就知道這些可能的位置組成的圖形（在二維情況下）是一個(gè)橢圓。

下面介紹一下數(shù)學(xué)上對(duì)于橢圓的定義。在二維平面中給定兩個(gè)點(diǎn) T 和 R，再給定一個(gè)距離 d，該距離 d 應(yīng)大于 T 和 R 的間距。那么，所有與 T 和 R 的距離之和為 d 的點(diǎn)就構(gòu)成了一個(gè)橢圓。而 T 和 R 這兩個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)。

在我們的例子中，點(diǎn) T 和 R 就相當(dāng)于接收臺(tái)和發(fā)射臺(tái)的位置。因此接收臺(tái)知道反射了聲脈沖的物體就在一個(gè)橢圓上的某處，而橢圓的焦點(diǎn)就是接收臺(tái)以及發(fā)射臺(tái)所在的位置。如果在所關(guān)心的區(qū)域內(nèi)建立坐標(biāo)系，接收臺(tái)可以寫(xiě)出描述這一橢圓的方程式。于是它就可以知道橢圓上每一個(gè)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，即物體可能在的每一個(gè)位置。

現(xiàn)在想象有另一個(gè)接收臺(tái)也探測(cè)到了信號(hào)聲脈沖的反射波。與第一個(gè)接收臺(tái)的情況一樣，它知道物體就在以自己所在位置以及發(fā)射臺(tái)位置為焦點(diǎn)的橢圓上。我們現(xiàn)在知道了兩個(gè)不同的橢圓，且物體必然同時(shí)位于這兩個(gè)橢圓上，這意味著物體必須在兩個(gè)橢圓相交的位置上。一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)橢圓可以相交于四個(gè)點(diǎn)（可以想象兩個(gè)橢圓像十字一樣交叉）。然而，在我們的實(shí)際例子中兩個(gè)橢圓共用一個(gè)焦點(diǎn)，它們最多會(huì)相交于兩個(gè)點(diǎn)。你可以用軟件作圖或者數(shù)學(xué)推演的方法確認(rèn)這一點(diǎn)。

這樣一來(lái)，物體可能存在的位置就被鎖定在最多兩個(gè)點(diǎn)上：即兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)處。

以此類(lèi)推，如果有第三個(gè)接收臺(tái)探測(cè)到反射波，就可以最終確定物體的位置。第三個(gè)接收臺(tái)會(huì)引入與前兩個(gè)不同的第三個(gè)橢圓，而發(fā)射臺(tái)仍處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處。這個(gè)被定位的物體必須處在所有的三個(gè)橢圓上 —— 而平面上這樣的點(diǎn)只會(huì)有一個(gè)，至少只要第三個(gè)反射脈沖與前兩個(gè)傳播距離都不同的情況下一定是這樣。如果每一個(gè)接收臺(tái)都將各自推斷出的橢圓方程發(fā)送給一個(gè)控制中心，那么控制中心就可以計(jì)算出這個(gè)點(diǎn)的位置。實(shí)際上，電腦可以在一瞬間計(jì)算出這個(gè)位置。

我們剛剛說(shuō)明了，在二維情況下，只要有三個(gè)敵人的接收臺(tái)收到了從你的飛機(jī)反射出去的聲脈沖，他們就可以確定你的位置。如果敵方有足夠多合理排布的接收臺(tái)，那么任何飛過(guò)附近區(qū)域的物體反射的聲脈沖都會(huì)被足夠多的接收臺(tái)探測(cè)到，這也就意味著無(wú)論如何你都會(huì)被發(fā)現(xiàn)。

在我們進(jìn)入到下面的關(guān)于如何蒙蔽敵人的環(huán)節(jié)前，簡(jiǎn)要提一下如何將上述情節(jié)推廣到三維。在三維情況下，一個(gè)接收到反射信號(hào)的接收臺(tái)可以推斷該物體處在一個(gè)橢球面上 —— 這是一個(gè)三維版本的橢圓，將橢圓繞其連接兩個(gè)焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)就可以得到橢球面。此時(shí)所面對(duì)的數(shù)學(xué)運(yùn)算更復(fù)雜了，但是通常來(lái)講四個(gè)相交的橢球，即對(duì)應(yīng)四個(gè)接收臺(tái)就可以精確定位飛機(jī)的位置。

你如何蒙蔽敵人

一種在敵人面前隱藏自己的方法就是在你的飛機(jī)表面附上一層顯著吸收雷達(dá)聲脈沖而只反射很少部分的材料，這樣一來(lái)，反射的部分就不足以讓接收臺(tái)監(jiān)測(cè)到。但是，即使你沒(méi)有這樣的特殊材料，你也可以蒙蔽敵人，

設(shè)想你可以探測(cè)到并記錄來(lái)自發(fā)射臺(tái)的雷達(dá)聲脈沖。你可以在一定延遲后重新廣播這一信號(hào)。這樣一來(lái)你的敵人會(huì)定位到兩個(gè)你，且處在截然不同的位置上。這可以在某種程度上避免被捕捉到：如果敵人決定跟蹤你，他們需要在你和你的虛構(gòu)出的映像之間分配資源。

在會(huì)議的討論中，數(shù)學(xué)家們展示了你可以更進(jìn)一步。剛剛我們忽略的一點(diǎn)是，駕駛飛機(jī)的你其實(shí)是在移動(dòng)的。為了確認(rèn)一個(gè)移動(dòng)物體的軌跡，你的敵人可能發(fā)送重復(fù)的聲脈沖。這將使他們可以對(duì)于你的去向做出預(yù)測(cè)并試圖攔截你。

數(shù)學(xué)家們表示（假定你以勻速朝著確定方向前進(jìn)時(shí)）你可以調(diào)節(jié)你延遲發(fā)射信號(hào)的時(shí)間讓接收臺(tái)認(rèn)為第二個(gè)物體以與你的飛機(jī)截然不同的軌跡在行進(jìn)。通過(guò)發(fā)送幾組延遲信號(hào)，你甚至可以讓他們認(rèn)為有多個(gè)物體，每一個(gè)都朝著不同的方向前進(jìn)，這將嚴(yán)重迷惑你的敵人，減少你被捕捉的可能性。

超越基礎(chǔ)知識(shí)的考慮

數(shù)學(xué)家們?cè)跁?huì)上所用到的數(shù)學(xué)比我們提到的更加精密。至關(guān)重要的是，數(shù)學(xué)家們考慮到了現(xiàn)實(shí)中總會(huì)出現(xiàn)的不確定性。例如，由于接收臺(tái)無(wú)法 100% 準(zhǔn)確地測(cè)量反射信號(hào)的飛行時(shí)間，所以他們無(wú)法 100% 準(zhǔn)確地定位一個(gè)物體。此外，電磁輻射從飛機(jī)這樣復(fù)雜的物體處的散射和吸收行為也會(huì)帶來(lái)誤差，這些都會(huì)引入不確定性。

數(shù)學(xué)家們假定，為了應(yīng)對(duì)不確定性，敵人將對(duì)于接收到的信號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析以得出所探測(cè)物體最可能的位置或者軌跡。這樣的分析是基于貝葉斯理論進(jìn)行的。該理論使你可以基于新證據(jù)（如反射的信號(hào)）以及你已知的信息（如你認(rèn)為剛剛飛機(jī)在哪里）來(lái)推測(cè)某件事情（例如飛機(jī)當(dāng)前在哪里）發(fā)生的幾率。

現(xiàn)代通信的背景下，每個(gè)國(guó)家都需要在空間、天空、陸地、海洋和網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)領(lǐng)域有效運(yùn)作。在我們關(guān)于雷達(dá)的例子中，這種操作使用的是電磁波譜。問(wèn)題是，由于民用和軍事對(duì)電磁波譜的需求持續(xù)增長(zhǎng) (例如對(duì)于 5G 的需求)，我們的“電磁環(huán)境”變得越來(lái)越擁擠且有競(jìng)爭(zhēng)。而上面提到的會(huì)議正是為了尋求將新的數(shù)學(xué)應(yīng)用于這一問(wèn)題引起的挑戰(zhàn)而進(jìn)行的活動(dòng)之一。

很有趣的是，盡管我們考慮的問(wèn)題十分復(fù)雜，我們依然可以從 2000 多年前就知道的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中獲得解決問(wèn)題的靈感。

作者：Marianne Freiberger

翻譯：云開(kāi)葉落

審校：利有攸往

原文鏈接：Hiding in plane sight

本文來(lái)自微信公眾號(hào)：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Freiberger

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的雷达：我一定会抓到你，除非你...... 懂数学的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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