文章目錄

• 不定方程
• • 二元一次不定方程
  • $n$ 元一次不定方程
  • 畢達哥拉斯定理
  • 費馬大定理
  • 佩爾方程
  • • 第一類佩爾方程
    • • 暴力迭代法
      • 矩陣迭代法
    • 第二類佩爾方程

不定方程

二元一次不定方程

轉化為一元線性同余方程

$n$ 元一次不定方程

轉化為多元線性同余方程

畢達哥拉斯定理

$x^2+y^2=z^2$ ，當$\gcd (x,y,z)=1$ 時被稱為本原的畢達哥拉斯三元組。

$本原的畢達哥拉斯三元組(x,y,z)且y為偶數??m,n(m>n,m,n互素，不同奇偶),x=m^2?n^2,y=2mn,z=m^2+n^2$

費馬大定理

$x^n+y^n=z^n,n\ge 3,n\in N$ 無非$0$ 整數解

佩爾方程

第一類佩爾方程

形如：$x^2?d{y}^2=1,d>1$

$d$ 是完全平方數$?$ 無解

解有迭代公式：
$$\begin{gathered} x_n=x_{n?1}{x}_1+d{y}_{n?1}{y}_1 \\ {y}_n=x_{n?1}{y}_1+y_{n?1}{x}_1 \end{gathered}$$
推導：設特解$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，則有$$x_1^2?d{y}_1^2=1,x_2^2?d{y}_2^2=1$$ 則$$\left(x_1^2?d{y}_1^2\right)\left(x_2^2?d{y}_2^2\right)=1$$
展開，有$$\begin{array}{rl}& x_1^2{x}_2^2?d{x}_1^2{y}_2^2?d{y}_1^2{x}_2^2+d^2{y}_1^2{y}_2^2\\ =& (x_1^2{x}_2^2+d^2{y}_1^2{y}_2^2)?d(x_1^2{y}_2^2+y_1^2{x}_2^2)\\ =& {\left(x_1{x}_2+d{y}_1{y}_2\right)}^2?d{\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1\right)}^2\\ =& 1\end{array}$$逐次迭代可得上述迭代公式。

暴力迭代法

從$y=1$ 開始枚舉驗證，每次$+1$ 。

矩陣迭代法

第$k$ 個迭代解用矩陣表示如下：
$$\left[\begin{array}{l}{x}_k\\ y_k\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}{x}_1& d{y}_1\\ y_1& x_1\end{array}\right]}^{k?1}\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]$$
求出第一個特解后用矩陣快速冪求得第$k$ 個解。

第二類佩爾方程

形如：$x^2?d{y}^2=k,d>1$

解有迭代公式：
$$\begin{gathered} x=p{x}_1+dq{y}_1 \\ y=p{y}_1+q{x}_1 \end{gathered}$$
其中$(p,q)$ 是第二類佩爾方程的一個特解，$(x_1,y_1)$ 是第一類佩爾方程的最小特解。

推導：根據上述，有$$p^2?d{q}^2=k,x_1^2?d{y}_1^2=1$$則$$\left(x_1^2?d{y}_1^2\right)\left(p^2?d{y}^2\right)=k$$ 展開，有
$$\begin{array}{rl}& x_1^2{p}^2?d{x}_1^2{q}^2?d{y}_1^2{p}^2+d^2{y}_1^2{q}^2\\ =& (x_1^2{p}^2+d^2{y}_1^2{q}^2)?d(x_1^2{q}^2+y_1^2{p}^2)\\ =& {\left(x_{1}p+d{y}_{1}q\right)}^2?d{\left(x_{1}q+p{y}_1\right)}^2\\ =& k\end{array}$$
逐次迭代可得上述迭代公式。

對于每一組特解$(p,q)$ ，第$k$ 個迭代解用矩陣表示如下：
$$\left[\begin{array}{l}{x}_k\\ y_k\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}p& dq\\ q& p\end{array}\right]}^{k?1}\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]$$
求出第一個特解后用矩陣快速冪求得第$k$ 個解

總結

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