畢達哥拉斯的數字和定理 邏輯與算法之四

?

約公元前六世紀，相當于古代中國的先秦時期，希臘早期哲學家泰勒斯在希臘創立愛奧尼亞學派。后來，在這個學派基礎上產生一個宗教、政治、學術于一體的團體，這個團體，就是我們今天要討論的古代數學團體：一個以畢達哥拉斯為領袖的畢達哥拉斯學派（約公元前560年-前480年）。

照片1畢達哥拉斯

美索不達米亞的泥板數字，對應于具體的自然物體。如同一本幼兒數學教本中所舉的例子，初等算術就是把自然數和自然物體相對應。

照片2數一數有多少

但畢達哥拉斯學派遇到的數學問題，僅憑對應自然物體的計算來解決，那一點門都沒有。因為這個專注學問本身，不太求即時應用的學派，他們所研究的數學，常常不是對應于自然物體，而是超越于自然物體的對象，例如一張平面圖紙上畫出的“三角形”。或者，一組純粹的數字，例如自然數的奇數和偶數。畢達哥拉斯學派這種幾乎可以看作是脫離實際應用的數學研究，自然因漂浮于世俗之外，而帶有神秘、玄妙與怪誕的特性。其神秘如同丹奇克在描述這些數字時，引用的一段畢達哥拉斯祈禱文：

“創造諸神和人類的神圣的數啊！愿你賜福我們！啊！圣潔的四啊！您孕育著永流不息的創造源泉！因為您起源于純潔而深奧的一，漸次達到圣潔的四；然后生出圣潔的十，它為天下之母，無所不包，無所不屬，首出命世，永不偏倚，永不倦怠，成為萬物之鎖鑰。”（《數 科學的語言》第33-34頁）

照片3數 科學的語言

數創造了一切，畢達哥拉斯學派是用數字的至高無上，取代了數只是對應于自然物體的遠古數字觀。這樣，數字本身就成了畢達哥拉斯學派膜拜的神，純粹的幾何圖形也如同數字一樣神圣，因為這些圖形是用神圣的數字來解釋的。

這似乎是人類有關知識的一個重要轉折點，這個對于符號數字的神秘膜拜，讓人類有關數字的知識，從純粹的世俗應用變成了一種認知上的趣味，智慧上的考量和信仰上的虔誠。對數字符號本身的這種超現實理解，產生了也許是歷史上的第一個推理，或者稱證明過程。這個推導出的命題，就是以畢達哥拉斯命名的畢達哥拉斯定理，一般稱勾股定理。據稱，中國古代數學家商高也發現了這個定理，因此也稱商高定理。

照片3 畢達哥拉斯定理證明示意圖

用現代的語言表述畢達哥拉斯定理，實際上是有關全部這類三角形的一個推理。這個定理可以表述為：

任意直角三角形，其斜邊的平方等于其另兩個直角邊平方之和。

這就是著名的畢達哥拉斯定理公式：a，b為直角邊，c為斜邊。

?

a2+b2=c2

?

我們在遠古泥板上遇到的數學問題，總是具體到自然物體的計算上，使用最初等的算術就足夠，如同遠古泥板上提到的過的谷倉問題。

?

“數學活動最古老的痕跡之一是在美索不達米亞發現的一塊泥板，它可以追溯到公元前2500年，這塊泥板記錄這樣一個計算：如果一個谷倉里有1152000份糧食，每個人分得7份，一共可以分給多少人呢？”（《計算進化史》第2頁）

?

這樣的泥板問題，依靠除法就可以解決。你大概從文字描述和數字計算上看不到還能有什么其它的意蘊。

但證明這個畢達哥拉斯定理的推理過程，卻至少可以引申出，以下一些有關純粹數學的思考結論和思考疑問。

首先，這個推導依據的，不是一個具體的直角三角形。任意三角形的平面畫圖絕不會對應于某個具體的自然物體，不會是某塊土地的形狀，也不會是某個建筑的形狀，或者其它任何自然物體的形狀。它僅僅只是人類知性的一個抽象，或者說是，來自心智的數字概念變體。古代數學大概從這一刻，應用性的經驗習得，開始走向知識的純粹，我們似乎從這里看到純粹數學的某種萌芽。

進一步可以看到，任意三角形意蘊深遠，實際上這樣的三角形數目是無限的。在給出這個定理的推導時，無窮或者無限的概念悄悄地潛入了古代數學。

接著，你從無窮對象潛在地隱含其中，可以感受到，數學對象與自然物體之間自然地出現分離。原來，人類所面對的客體，除了自然對象，還有人類心智所面對的符號對象。這些符號對象，也可以作為獨立的整體，作為這個世界的另一種客體為心智所研究。

然后，這個推理所涉及到的抽象對象，用“任意”來限定，這實際上也在顯示量詞詞項“所有”的出現。符號對象除了數字，還有限定任意數學對象的量詞，這大概為其后亞里士多德古典邏輯，包括全稱和特稱量詞的三段論理論的產生，準備了條件。

最后，畢達哥拉斯定理的推導，究竟依據的什么？它有什么已知的前提，又有什么假設的前提，人們何以能夠依據這些前提一步一步地導出結論？

還有許多，許多﹍﹍。

許多﹍﹍。

所有這些思考結論和疑問，仿佛是在導引出和一般計算不同的另一門數學或者邏輯。

果然，在畢達哥拉斯數百年之后，亞里士多德的三段論邏輯與歐幾里得《幾何原本》所體現的兩大演繹體系，為燦爛的古希臘文化增添了新的光彩。

人類的計算還在延續，但數學卻因為對于純粹數字的思考，跨入了一個新境界。人類有關推理的思考則在希臘誕生了一門新學科，亞里士多德的古典邏輯，一門起初看起來和數學幾無關聯的學科。2019/10/19

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的毕达哥拉斯的数字和定理 -逻辑与算法之四的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。