CSI筆記【9】：陣列信號處理及MATLAB實現（第2版）閱讀隨筆（一）

• • Chapter1 緒論
  • • • (1).陣列信號處理的目的：
      • (2).陣列信號處理研究的主要問題包括：
      • (3).空間譜估計方法：
  • Chapter2 陣列信號處理基礎
  • • • (1).特征值與特征向量：
      • (2).信源和噪聲模型：
      • (3).噪聲模型：
      • (4).陣列天線的統計模型：
      • • ①.前提及假設：
        • ②.陣列的基本概念：
        • ③.天線陣模型：
        • ④.波束寬度：
        • ⑤.分辨率：
      • (5).陣列協方差矩陣的特征分解：
      • (6).信號源估計方法：
      • • ①.特征值分解方法：
        • ②.信息論方法：
        • ②.其它信源數估計方法：
  • Reference

Chapter1 緒論

(1).陣列信號處理的目的：

通過對陣列接收到的信號進行處理，增強有用信號，抑制無用的干擾和噪聲，并提取有用的信號特征及信號所包含的信息。

(2).陣列信號處理研究的主要問題包括：

• 波束成形技術——使陣列天線方向圖的主瓣指向所需的方向，將干擾置為0。
• 空間譜估計——對空間信號波達方向的分布進行超分辨率估計。
• 信號源定位——確定陣列到信源的仰角、方位角，甚至頻率、時延和距離等。
• 信源分離——確定各個信源發射的信號波形。各個信源從不同方向到達陣列，這一事實使得這些信號波形得以分離，即使它們在時域和頻域是疊加的。

(3).空間譜估計方法：

$DoA$ 估計的基本問題是確定同時處在空間某一區域內多個感興趣的信號的空間位置（各個信號到達陣列參考陣元的方向角，簡稱波達方向）。波束形成實質上也是一個波達方向估計問題，只不過它們都是非參數化的波達方向估計器。這些估計的分辨率取決于陣列長度。陣列長度確定后，其分辨率也確定了，成為瑞利限。超瑞利限的方法成為超分辨率方法。最早的超分辨率DoA估計方法是著名的 $MUSIC$ 方法和 $ESPRIT$ 方法，它們同屬特征結構的子空間方法。

子空間方法建立在這樣一個基本觀察之上：若傳感器個數比信源個數多，則陣列數據的信號分量一定位于一個低秩的子空間；在一定條件下，這個子空間將唯一確定信號的波達方向，并且可以使用數值穩定的奇異值分解精確地確定波達方向。

Chapter2 陣列信號處理基礎

(1).特征值與特征向量：

令 $A\in \mathbb{C},e\in {\mathbb{C}}^n$ ，若標量 $\lambda$ 和非零向量 $e$ 滿足方程：
$$Ae=\lambda e$$
則稱 $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的特征值，$e$ 是 $\lambda$ 對應的特征向量。特征值和特征向量總是承兌出現，稱 $(\lambda ,e)$為矩陣 $A$ 的特征對，特征值可能為 $0$，但特征向量一定非零。

(2).信源和噪聲模型：

窄帶信號：多信號帶寬遠小于其中心頻率，則該信號稱為窄帶信號，即：
$$W_B/f_0<1/10$$
其中，$W_B$ 為信號帶寬，$f_0$為中心頻率。通常將正弦信號和余弦信號統稱為正弦型信號，正弦型信號是典型的窄帶信號。
$$s(t)=a(t)e^{j[{\omega }_{0}t+\theta (t)]}$$
式中，$a(t)$ 為慢變幅度調制函數（或稱實包絡），$\theta (t)$ 為慢變香味調制函數，$\omega =2\pi f_0$ 為載頻。一般情況下，$a(t)$ 和 $\theta (t)$ 包含了全部的有用信息。

(3).噪聲模型：

若陣元接收到的噪聲為平穩零均值高斯暴燥聲，方差為 ${\sigma }^2$ 。各陣元間的噪聲互不相關，且與目標源不想管。這樣，噪聲向量 $n(t)$ 的二階矩滿足：
$$\begin{gathered} E\{n(t_1)?n^H(t_2)\}={\sigma }^2?I?{\delta }_{t_1,t_2} \\ E\{n(t_1)?n^T(t_2)\}=0 \end{gathered}$$

(4).陣列天線的統計模型：

①.前提及假設：

• 關于接收天線陣的假設：接收陣列由位于空間已知坐標處的無源陣元按一定的形式排列而成。假設陣元的接收特性僅與其位置有關，而與其尺寸無關（認為是一個點），并且陣元都是全向陣元，增益均相等，相互之間的互耦忽略不計。陣元在接收信號時將產生噪聲，假設其為加性高斯白噪聲，各陣元上的噪聲相互統計獨立，且噪聲與信號是統計獨立的。
• 關于信號空間源的假設：假設空間信號的傳播介質是均勻且各向同性的，這時空間信號在介質中將按直線傳播；同時又假設陣列處于空間信號輔助的遠場中，所以空間源信號到達陣列時可被看成一束平行的平面波，空間源信號到達陣列各陣元在時間上的不同時延，可由陣列的幾何結構和空間波的來向來決定。空間波的來向在三維空間中常用仰角 $\theta$ 和方位角 $?$ 來表征。

此外，在建立陣列信號模型時，還常常要區分空間源信號是窄帶信號還是寬帶信號。所謂窄帶信號是指相對于信號（復信號）的載頻而言，信號包絡的帶寬很窄（包絡是慢變的）。因此，在同一時刻該類信號對陣列各陣元的不同影響僅僅在于因其到達各陣元的波程不同兒導致的相位差異（信號包絡在各陣元上的差異可忽略，稱為窄帶信號）。

②.陣列的基本概念：

• 陣列流形：是陣列導向向量/方向向量/陣列響應向量的集合。陣列流形包含了陣列幾何結構、陣元模式、陣元間的耦合、頻率等影響。改變空間角 $\theta$ ，使方向向量 $a(\theta )$ 在 $M$ 維空間內掃描，所形成的曲面稱為陣列流形。
• 方向向量：設在空間中有 $M$ 個陣元組成陣列，將陣元從 $1$ 到 $M$ 編號，并以陣元 $1$ （也可選擇其它陣元）作為基準或參考點。陣列信號總是變換到基帶再進行處理，因此可將陣列信號用向量形式表示為：
  $$S(t)?[S_1(t),S_2(t),...,S_M(t)]=S(t)[e^{?j{r}_1^{T}k},e^{?j{r}_1^{T}k},...,e^{?j{r}_1^{T}k}{]}^T$$
  上式被稱為方向向量，因為當波長和陣列的幾何結構確定時，該向量只與到達波的空間角矢量 $\theta$ 有關。方向矢量記作 $a(\theta )$ ，它與基準點的位置無關。

③.天線陣模型：

用矩陣描述，即使在最一般化的情況下，陣列信號模型可簡練地表示為：
$$x(t)=A(\Theta )S(t)+n(t)$$
很顯然 $A(\Theta )$ 與陣列地形狀、信號源地來向有關，而一般在實際應用中，天線陣的形狀一旦固定就不會改變了。所以，矩陣 $A(\Theta )$ 中任何列總是和某個空間源信號的來向緊密聯系的。

④.波束寬度：

• 波束寬度與天線孔徑成反比。
• 對于某些陣列（$e.g.$ 線陣），天線的波束寬度與波束指向有關系。
• 波束寬度越窄，陣列的指向性越好，也就說明陣列分辨空間信號的能力越強。

⑤.分辨率：

在陣列測向中，某方向上對信源的分辨率與在該方向附近陣列方向向量的變化率直接相關。在方向向量變化較快的方向附近，隨信源角度變化，陣列快排數據變化也較大，分辨率也較高。

對于均勻線陣（$ULA$），分辨率為 $D(\theta )$：
$$D(\theta )\propto cos\theta$$
說明信號在 $0^{°}$ 方向分辨率最高，而在 $60^{°}$ 方向分辨率已降了一半，所以一般線陣的測向范圍為 $?60^{°}～60^{°}$。

(5).陣列協方差矩陣的特征分解：

在實際處理中，我們通常得到的數據是在有限時間范圍內的有限次快拍數。在這段時間內，假定空間源信號的方向不發生變化，并且空間源信號的包絡雖然隨時間變化，但通常認為它是一個平穩隨機過程，其統計特性不隨時間變化，這樣就可以定義陣列輸出信號 $x(t)$ 的協方差矩陣為
$$R=E\{[x(t)?m_x(t)][x(t)?m_x(t){]}^H\}$$
其中，$m_x(t)=E[x(t)]$，且 $m_x(t)=0$，則有
$$R=E[x(t)x(t{)}^H]=E\{[A(\theta )s(t)+n(t)][A(\theta )s(t)+n(t){]}^H\}$$
此外，還有以下幾個條件必須滿足：

$M>K$，即陣元個數 $M$ 要大于該陣列系統可能接收到的空間信號的個數。

對應于不同的信號來向 ${\theta }_i(i=1,2,...,K)$，信號的方向向量 $a({\theta }_i)$ 是線性獨立的。

陣列中噪聲 $n(t)$ 過程具有高斯分布特性，而且
$$\begin{gathered} E\{n(t)\}=0 \\ E\{n(t)n^H(t)\}={\sigma }^{2}I \\ E\{n(t)n^H(t)\} \end{gathered}$$
其中，${\sigma }^2$ 表示噪聲功率。

空間源信號向量 $s(t)$ 的協方差矩陣
$$R_s=E\{s(t)s^H(t)\}$$
是對角非奇異陣，這表明空間源信號是不相干的。

由以上各式，可得出 $R=A(\theta )R_s{A}^H(\theta )+{\sigma }^{2}I$，可以證明 $R$ 是非奇異的，且 $R^H=R$，因此 $R$ 為正定 $Hermitain$ 方陣，若利用酉變換實現對角化，其相似對角陣由 $M$ 個不同的正實數組成，與之對應的 $M$ 個特征向量是線性獨立的。因此，$R$ 的特征分解可以寫為
$$R=U\Sigma U^H=\sum _{i=1}^M{\lambda }_i{u}_i{u}_i^H$$
其中，$\Sigma =diag\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_M\}$，并可證明其特征值服從排序：${\lambda }_1?????{\lambda }_K>{\lambda }_{K+1}=???={\lambda }_M={\sigma }^2$。即前 $K$ 個特征值與信號有關，其數值大于 ${\sigma }^2$，這 $K$個較大特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,???,{\lambda }_K$ 所對應的特征向量表示為 $u_1,u_2,???,u_K$，它們構成信號子空間 $U_S$，記 ${\Sigma }_S$ 是 $K$ 個較大特征值構成的對角陣；而后 $M?K$ 個特征值完全取決于噪聲，其數值軍等于 ${\sigma }^2$，${\lambda }_{K+1},{\lambda }_{K+2},???,{\lambda }_M$ 所對應的特征向量構成噪聲子空間 $U_N$，而 ${\Sigma }_N$ 是由 $M?K$ 個較小特征值構成的對角陣。

因此，可以將 $R$ 劃分成
$$R=U_S{\Sigma }_S{U}_S^H+U_N{\Sigma }_N{U}_N^H$$
式中，${\Sigma }_S$為大特征值組成的對角陣；${\Sigma }_N$為小特征值組成的對角陣。
$${\Sigma }_S=?\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& & & & \\ & {\lambda }_2& & & \\ & & ???& & \\ & & & ???& \\ & & & & {\lambda }_K\end{array}?$$
$${\Sigma }_N=?\begin{array}{ccccc}{\lambda }_{K+1}& & & & \\ & {\lambda }_{K+2}& & & \\ & & ???& & \\ & & & ???& \\ & & & & {\lambda }_M\end{array}?$$
顯然，當空間噪聲是白噪聲時，有 ${\Sigma }_N={\sigma }^2{I}_{(M?K)\times (M?K)}$。

性質1：協方差矩陣的大特征值對應的特征向量章程的空間與入射信號的導向向量張成的空間是同一個空間，即：
$$span\{u_1,u_2,???,u_K\}=\{a_1,a_2,???,a_K\}$$
性質2：信號子空間與噪聲子空間正交。

需要注意的是：在具體實現中，數據協方差矩陣采用協方差矩陣 $\hat{R}$ 代替，即：
$$\hat{R}=\frac{1}{L}X(t_1)X^H(t_2)$$

(6).信號源估計方法：

陣列信號處理中的大部分算法均需要知道入射信號數。但在實際應用場合，信號源通常是一個未知數，往往需要先估計信號源的數目或假設信號源數目已知，然后再估計信號源的方向。根據特征空間的分析可知，在一定條件下，數據協方差矩陣的大特征值對應于信號源數，而小特征值是相等的（等于噪聲功率）。這就說明可以直接根據數據協方差矩陣的大特征值來判斷信號的源數。但在實際應用場合，由于快拍數、信噪比等方面的限制，在對實際得到的數據協方差矩陣進行特征分解后，不可能得到明顯的大小特征值。很多學者提出了在信號數估計方面較為有效的方法，包括信息論方法、平滑秩法、矩陣分解法、蓋氏圓方法和正則相關等方法。

①.特征值分解方法：

在存在觀測噪聲時，接收信號模型為 $X=AS+N$ 。$\hat{R}$ 表示有觀測噪聲時的混合信號的協方差矩陣：
$$\hat{R}=X{X}^H/L=R+R_N$$
其中，$R=AE\{x(t)x^H(t)\}{A}^H,R_N={\sigma }^{2}I$，${\sigma }^2$ 為噪聲功率。容易驗證，若 ${\lambda }_1?{\lambda }_2????{\lambda }_K>{\lambda }_{K+1}=???{\lambda }_M=0$ 為 $R$ 的 $M$ 個特征值，而 ${\mu }_1?{\mu }_2?????{\mu }_K?{\mu }_{K+1}????{\mu }_M?0$ 為 $\hat{R}$ 的 $M$ 個特征值，則有 ${\mu }_1\approx {\lambda }_1+{\sigma }^2,{\mu }_2\approx {\lambda }_2+{\sigma }^2,???,{\mu }_M\approx {\lambda }_M+{\sigma }^2$，因此，在信噪比比較高的情況下，協方差矩陣 $\hat{R}$ 的主特征值數與信號源的個數都等于 $K$。

將得到的協方差矩陣的特征值從大到小排列，即 ${\mu }_1?????{\mu }_K?{\mu }_{K+1}?????{\mu }_M$。設 ${\gamma }_k={\mu }_k/{\mu }_{k+1}(k=1,2,???,M?1)$；作為觀測樣本矩陣的主特征值數，則信源數目 $K$ 應取值使得 ${\gamma }_k=max({\gamma }_1,{\gamma }_2,???,{\gamma }_{M?1})$。改方法的優點是運算簡單，且估計準確率較高。

②.信息論方法：

信息論方法有一個統一的表達形式：
$$J(k)=L(k)+P(k)$$
式中，$L(k)$ 是對數的似然函數，$P(k)$ 是罰函數。通過對 $L(k)$ 和 $P(k)$ 的不同選擇就可以得到不同的準則。

$EDC$ 信息論準則：
$$EDC(n)=L(M?k)ln\Lambda (k)+k(2M?k)C(L)(1)$$
其中，$k$ 為待估計的信號源數（自由度），$L$ 為采樣數，$\Lambda (k)$ 為似然函數，且
$$\Lambda (k)=\frac{\frac{1}{M?k}{\sum }_{i=k+1}^M{\lambda }_i}{({\prod }_{i=k+1}^M{\lambda }_i{)}^{\frac{1}{M?k}}}(2)$$
另外，式 $(1)$ 中的 $C(L)$ 須滿足式 $(3)$ 和式 $(4)$ 所示的條件：
$$\begin{gathered} li{m}_{L\to \infty }(C(L)/L)=0 \\ li{m}_{L\to \infty }(C(L)/lnlnL)=\infty \end{gathered}$$
當 $C(L)$滿足上述條件時，$EDC$ 準則具有估計一致性。

在式 $(1)$ 中選擇 $C(L)$ 分別為 $1,(lnL)/2$ 及 $(lnlnL)/2$ 時，就可以得到 $AIC,MDL,HQ$ 等準則，即
$$\begin{gathered} AIC(k)=2L(M?k)ln\Lambda (k)+2k(2M?k) \\ MDL(k)=L(M?k)ln\Lambda (k)+\frac{1}{2}k(2M?k)lnL \\ HQ(k)=L(M?k)ln\Lambda (k)+\frac{1}{2}k(2M?k)lnlnL \end{gathered}$$
除了上述準則，還有一些修正的準則，得出如下結論：

$AIC$ 準則不是一致性估計，即在大快拍數的場合，它仍然有較大的誤差概率；而 $MDL$ 準則則相對較好；$HQ$ 準則居于兩者之間，主要是由準則中的罰函數項引起的。

$MDL$ 準則是一致性估計，也就是說在高信噪比情況下該準則有較好的性能，但在低信噪比情況下改準則相比于 $AIC$ 有更高的誤差概率。早高信噪比情況下，$MDL$ 準則的誤差概率比 $AIC$ 準則的小。

當在 $EDC$ 準則中 $C(L)=\frac{1}{2}lnL$ 時，$EDC$ 準則也就是 $MDL$ 準則，所以說 $MDL$ 準則是 $EDC$ 準則的一種特例。

當在 $EDC$ 準則中 $C(L)=\frac{1}{2}lnlnL$ 時，$EDC$ 準則也就是 $HQ$ 準則，所以說，$HQ$ 準則也是 $EDC$ 準則的一種特例。從低信噪比角度而言，在這三種準則中 $HQ$ 準則最優，其次是 $AIC$ 準則。

②.其它信源數估計方法：

在用信息論準則來估計信源數時，只能對獨立信號源的總數做出估計。當信號源相干時，午發準確估計信源數，而且對信號源的類別和結構不能做出判斷。平滑秩序列法能在信號源相干的情況下有效工作。

但是，信號源估計方法，包括信息論方法、平滑秩方法及矩陣分解方法等都需要得到矩陣或修正后矩陣的特征值，然后再利用特征值來估計信源數。蓋氏圓方法是一種不需要具體知道特征值的信源數估計方法。它用 $Gerschgorin$ 圓盤定理，就可估計各特征值的位置，進而估計信號源。

上述介紹的信源數的估計方法都是針對高斯白噪聲背景對入射信源數進行估計的。當噪聲中有色成分加大時，這些算法性能下降很快。針對這種情形，可采用正則相關技術 $(CCT)$。

Reference

[1] 陣列信號處理及MATLAB實現（第2版）$?$ 張小飛 李建峰 徐大專 等 著.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CSI笔记【9】：阵列信号处理及MATLAB实现（第2版）阅读随笔(一)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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