元素或為1或為-1的行列式的值的估計

元素或為1或為-1的行列式的值的估計

2018.04.12

設\(n(n>2)\)階行列式\(\det A\)的所有元素或為\(1\)或\(-1\)，求證：\(\det A\)的絕對值小于等于\((n-1)!(n-1)\).

\(solution:\)

數學歸納法.

考慮\(n=3\)的情形，第一列元素均為1或-1，故可對這一列上-1所在行乘-1使得第一列元素全為1，而\(abs(det A)\)值不變再對第二列第三列做同樣的事，使得第一行元素全為-1；將第一列加到第二列、第三列，得
\[ \left| \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 1& a& b\\ 1& c& d\\ \end{matrix} \right| \]
\(a,b,c,d\)取值為0或2，
\[ \left| \begin{matrix} a& b\\ c& d\\ \end{matrix} \right|\leq4. \]
所以\(detA\leq4=(3-1)!(3-1)\).

設對\(n-1\)也成立，考慮\(n\)，對\(detA\)按第一列展開，易得.

本題可加強為絕對值小于等于\(\frac{2}{3}n!\).

posted on 2018-04-16 10:25 cjc305 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

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總結

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