拉格朗日插值的优缺点_拉格朗日与牛顿插值法的比较
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拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較
一、
背景
在工程和科學研究中出現的函數是多種多樣的。常常會遇到這樣的情況：在某個實際
問題中，雖然可以斷定所考慮的函數
)
(
x
f
在區間
]
,
[
b
a
上存在且連續，但卻難以找到它的
解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數值(即一張函數表)
。顯然，
要利用這張函數表來分析函數
)
(
x
f
的性態，
甚至直接求出其他一些點上的函數值可能是非
常困難的。面對這些情況，總希望根據所得函數表(或結構復雜的解析表達式)
，構造某
個簡單函數
)
(
x
P
作為
)
(
x
f
的近似。
這樣就有了插值法，
插值法是解決此類問題目前常用的
方法。
如設函數
)
(
x
f
y
?
在區間
]
,
[
b
a
上連續，
且在
1
?
n
個不同的點
b
x
x
x
a
n
?
?
,
,
,
1
0
?
上分別
取值
n
y
y
y
,
,
,
1
0
?
。
插值的目的就是要在一個性質優良、便于計算的函數類
?
中，求一簡單函數
)
(
x
P
，使
)
,
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
P
i
i
?
?
?
而在其他點
i
x
x
?
上，作為
)
(
x
f
的近似。
通常，稱區間
]
,
[
b
a
為插值區間，稱點
n
x
x
x
,
,
,
1
0
?
為插值節點，稱式
i
i
y
x
P
?
)
(
為插值
條件，稱函數類
?
為插值函數類，稱
)
(
x
P
為函數
)
(
x
f
在節點
n
x
x
x
,
,
,
1
0
?
處的插值函數。
求插值函數
)
(
x
P
的方法稱為插值法。
插值函數類
?
的取法不同，所求得的插值函數
)
(
x
P
逼近
)
(
x
f
的效果就不同。它的選
擇取決于使用上的需要，常用的有代數多項式、三角多項式和有理函數等。當選用代數多
項式作為插值函數時，相應的插值問題就稱為多項式插值。本文討論的拉格朗日插值法與
牛頓插值法就是這類插值問題。
在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數不超過
n
的代數多項式
n
n
x
a
x
a
a
x
P
?
?
?
?
?
1
0
)
(
使
)
,
,
1
,
0
(
)
(
n
i
y
x
P
i
i
n
?
?
?
，其中，
n
a
a
a
,
,
,
1
0
?
為實數。
拉格朗日插值法即是尋求函數
)
(
x
L
n
(拉格朗日插值多項式)近似的代替函數
)
(
x
f
。
相似的，牛頓插值法則是通過
)
(
x
N
n
(牛頓插值多項式)近似的求得函數的值。
二、
理論基礎
(一)拉格朗日插值法
總結
以上是生活随笔為你收集整理的拉格朗日插值的优缺点_拉格朗日与牛顿插值法的比较的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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