如果現在有一個任意形狀的四面體，我們只知道它的六條棱長，那我們該如何確定它的體積呢？這就是著名的

四面體問題了，在解決這個問題之前，我們先來學習一點預備知識。

棱錐的體積

由于正四面體是一個棱錐，所以我們先從棱錐的體積說起。你可能會說棱錐的體積不就是

嘛，這有啥好說的。但本著一探究竟的原則，我們這里就起底一下棱錐的體積。為了簡化問題，我們就以四棱錐為例對其體積進行推導，如下圖所示，我們給出一個任意的四棱錐：

四棱錐。圖片來源：自己畫的。

并設其底面積為

，高為 ，紅色四邊形和橘色四邊形分別于底面平行，且紅色四邊形的面積為 ，則由中心縮放定理有：

則分別以紅色四邊形和橘色四邊形為底面，高度為

的四棱柱的體積為：

現在我們對上式進行積分得到：

這樣，我們就證明了一個四棱錐的體積為

了，這個公式推廣到任意棱錐也是適用的。

2. 平行六面體的體積和四面體體積之間的關系

什么是平行六面體？大家可能會對這個名詞感到陌生，但是，如果我說正方體，長方體等等大家肯定感覺十分親切，如正方體和長方體這樣的三維幾何體是隸屬于平行六面體的。我們不妨來看看維基百科是如何介紹平行六面體的：

在幾何學中，平行六面體是由六個平行四邊形所組成的三維立體，是一種平行多面體。它與平行四邊形的關系，正如正方體與正方形之間的關系；在歐式幾何中這四個概念都允許，但在仿射幾何中只允許平行四邊形和平行六面體。平行六面體的三個等價的定義為：
1. 六個面都是平行四邊形的多面體；
2. 有三對對面平行的六面體；
3. 底面為平行四邊形的棱柱。
長方體（六個面都是長方形）、正方體（六個面都是正方形），以及菱面體（六個面都是菱形）都是平行六面體的特殊情況。

平行六面體。圖片來源：自己畫的。

那么四面體的體積與如上圖所示的平行六面體之間的體積之間有何關系呢？我們不妨來看看：

平行六面體與四面體的體積關系。圖片來源：自己畫的。

我們設平行六面體

的高為 ，底面積為 ，它的體積為 。在第一部分中我們已經導出了棱錐的體積公式，而四面體是三棱錐，所以，上圖中的四面體 的體積為 ，而我們發現，這個四面體的底面積恰好是平行六面體的底面積的一般，即 ，所以，“這樣的”一個四面體的體積為：

所以，“這樣的”一個四面體的體積是平行六面體體積的

。

那“這樣的”四面體是指哪樣的四面體呢？“這樣的”一般指的是指的是高與平行六面體的高相同，底面面積是平行六面體底面面積的一半；亦或是兩者底面面積相等，而四面體的高為平行六面體高的一半，總的來說：四面體的體積等于任何與其共三條交于一頂點的邊的平行六面體體積的六分之一。（上圖中

三邊交于 點）

3. 矢量的內積、外積和混合積

首先，什么是矢量？通俗地講，矢量就是有向直線段。我們以三維歐式空間中的矢量為例進行說明，三維歐式空間中是矢量與三維空間中的點具有一一對應關系。比如矢量

與三維空間中的點 就是對應的。有了矢量之后，自然而然的就想到了如何去定義他們之間的運算，而對于矢量的線性運算，這里就不在進行說明了，我們主要來學習一下與之相關的三種積運算以及其幾何意義，其中最為重要的就是矢量混合積的幾何意義，它在 四面體問題中起到了非常重要的作用。

3.1 矢量的內積

內積這個概念相信大家在中學階段剛接觸接觸矢量的時候就已經系統的學習過了，當然了，這里還是要說一下。設兩個三維矢量

，則它們的內積為：

其中

表示矢量 之間的夾角。至于內積的幾何意義，表示的是矢量 在矢量 上的投影再乘上矢量 的模的運算，標量投影如下圖所示：

內積投影部分。圖片來源：自己畫的。

3.2 矢量的外積

兩個三維矢量

，則它們的外積為：

至于最后的坐標形式表達式，可由一下行列式求出：

矢量外積的幾何意義就比較有意思了，其幾何意義是由矢量

張成的平行四邊形的面積：

外積幾何意義。圖片來源：自己畫的。

當然，這僅僅是外積的幾何意義，而我們通過外積的定義式發現，其結果是個矢量，而這個矢量的方向滿足右手螺旋定則且垂直于矢量

所在的平面（ 是用右手由 握向 ，拇指的方向就是外積的方向），且其大小就是這個平行四邊形的面積：

外積。圖片來源：維基百科。

3.3 矢量的混合積

混合積，顧名思義，就是內積和外積的混合運算，一般定義為：

顯然混合積的結果是一個標量。假設

三者不共面，則混合積的幾何意義是由 張成的平行六面體的體積。為何？我們來分析一下：

混合積幾何意義。圖片來源：自己畫的。

在上圖中，矢量

與 的外積的幾何意義是平行四邊形 的面積 ，且矢量 垂直于平面 。矢量 與矢量 之間的夾角為 則矢量 與矢量 的內積即為矢量 在矢量 上的投影在乘以 ，而矢量 在矢量 上的投影即為平行六面體的高 ，所以，混合積 ：

4. 最后的斗爭——

四面體問題的解答

在之前的預備知識中我們已經做足了準備，現在，我們就要對

四面體問題進行求解了。

圖片來源：自己畫的。

有3.3 我們知道

，所以，由第2部分我們知道：

假設

的長度分別為 而且均已知， 并設：

則：

而由內積定義：

在

中使用余弦定理：不要在意夾角是否是銳角，如果是鈍角，那根據平行四邊形的不穩定性可以從后面向前壓，使夾角變為銳角。

則：

同理可得：

將式

代入式 得到：

這便是

四面體問題的解了。當然，類比于三角形面積的海倫公式，四面體的體積也具有其海倫公式：

四面體的海倫公式。圖片來源：維基百科。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的java 三维数组长方体求体积_已知任意一个四面体的六条棱长，如何求出其体积？...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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