德梅齊里亞克砝碼問題之解

(2011-01-19 15:11:02)

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一個40磅的砝碼掉在地上,跌成四塊,每快都是整數(shù)磅,用這四塊能用天平秤1到40磅的貨物,問這四塊各多少磅?解:設m個字母能組成n個算式,算式之值為正,那么又多了一個字母,便可組成3n+1個算式,(單個字母算一算式,在n前加+-號,算式值取正

,如取了a-b-c就不能取b+c-a),若n個算式能代表從1到n個自然數(shù),(一一對應),3n+1個算式代表從1到3n+1個自然數(shù),那么多了那個字母的數(shù)值只能為2n+1(表示數(shù)n的算式加這個字母才能組成一個最大數(shù)).兩個字母組成四個算式,1,

,2,3,4各是他們的值,那么這兩個字母的數(shù)值只能為1,3.由以上推理,第三個字母的數(shù)值為2*4+1=9,第四個字母的數(shù)值為2×13+1=27.故此題答案為1,3,9,27.此題也可用字母a,b,c,d可組成四十個算式,先從得最大數(shù)考慮,再

從得最小數(shù)考慮,也能得出同樣結(jié)果.1,3,9,27...是等比數(shù)列,其和為(3n-1)/2;數(shù)列2(n-1)+C(n,1)2(n-2)+...+C[n,(n-1)]2=(3n-1)/2,(靠二項式定理解,3n指3的n次冪).

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