我想要的是

我想找到一個靜止點列表,它們的值和位置,以及它們是最小值還是最大值.

我的功能如下：

import numpy as np

def func(x,y):

return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2

方法

以下是我正在考慮使用的方法：

>我實際上已經在Mathematica上做了類似的事情.我將功能區分為一次然后兩次.我查看一階導數為0的點,計算它們的值及其位置.然后我在這些位置采用二階導數并檢查它們是最小值還是最大值.

>我也想知道是否只是在x和y中創建函數值的二維數組,并找到該數組的最大值和最小值.但這需要我知道如何精確地定義x和y網格,以可靠地捕獲函數的行為

對于后一種情況,我已經找到了一些像this one這樣的方法.

我只是想知道,哪種方法在Python的效率,速度,準確度甚至優雅方面更有意義？

最佳答案

find a list of the stationary points, of their values and locations, and of whether they are minima or maxima.

這通常是一個無法解決的問題.方法1(符號)適用于此,但對于復雜函數,沒有靜止點的符號解(沒有方法用于象征性地求解兩個方程的一般系統).

SymPy的符號解決方案

對于像您的示例這樣的簡單函數,SymPy將正常工作.這是一個完整的例子,用于找到靜止點并通過Hessian的特征值對它們進行分類.

import sympy as sym

x, y = sym.symbols("x y")

f = sym.cos(x*10)**2 + sym.sin(y*10)**2

gradient = sym.derive_by_array(f, (x, y))

hessian = sym.Matrix(2, 2, sym.derive_by_array(gradient, (x, y)))

到目前為止,Hessian是符號矩陣2乘2：[[200 * sin(10 * x)** 2 – 200 * cos(10 * x)** 2,0],[0,-200 * sin(10) * y)** 2 200 * cos(10 * y)** 2]].接下來,我們通過將梯度等于零來找到靜止點,并將它們逐個插入Hessian.

stationary_points = sym.solve(gradient, (x, y))

for p in stationary_points:

value = f.subs({x: p[0], y: p[1]})

hess = hessian.subs({x: p[0], y: p[1]})

eigenvals = hess.eigenvals()

if all(ev > 0 for ev in eigenvals):

print("Local minimum at {} with value {}".format(p, value))

elif all(ev < 0 for ev in eigenvals):

print("Local maximum at {} with value {}".format(p, value))

elif any(ev > 0 for ev in eigenvals) and any(ev < 0 for ev in eigenvals):

print("Saddle point at {} with value {}".format(p, value))

else:

print("Could not classify the stationary point at {} with value {}".format(p, value))

最后一個條款是必要的,因為當Hessian只是半定的時候,我們無法分辨出什么樣的靜止點(x ** 2 y ** 4和x ** 2-y ** 4具有相同的Hessian at(0, 0)但不同的行為).輸出：

Saddle point at (0, 0) with value 1

Local maximum at (0, pi/20) with value 2

Saddle point at (0, pi/10) with value 1

Local maximum at (0, 3*pi/20) with value 2

Local minimum at (pi/20, 0) with value 0

Saddle point at (pi/20, pi/20) with value 1

Local minimum at (pi/20, pi/10) with value 0

Saddle point at (pi/20, 3*pi/20) with value 1

Saddle point at (pi/10, 0) with value 1

Local maximum at (pi/10, pi/20) with value 2

Saddle point at (pi/10, pi/10) with value 1

Local maximum at (pi/10, 3*pi/20) with value 2

Local minimum at (3*pi/20, 0) with value 0

Saddle point at (3*pi/20, pi/20) with value 1

Local minimum at (3*pi/20, pi/10) with value 0

Saddle point at (3*pi/20, 3*pi/20) with value 1

顯然,解決方案沒有找到所有的解決方案(其中有無數的解決方案).考慮solve vs solveset,但無論如何,處理無限多的解決方案很難.

使用SciPy進行數值優化

SciPy提供了很多numerical minimization routines,包括brute force(這是你的方法2;通常它非常慢).這些是強大的方法,但請考慮這些要點.

>每次運行只會找到一個最小值.

>用-f替換f也可以找到最大值.

>更改搜索的起點(最小化的參數x0)可能會產生另一個最大值或最小值.盡管如此,你永遠不會知道還有其他你還沒見過的極值.

>這些都不會找到馬鞍點.

混合策略

使用lambdify可以將符號表達式轉換為可以傳遞給SciPy數值解算器的Python函數.

from scipy.optimize import fsolve

grad = sym.lambdify((x, y), gradient)

fsolve(lambda v: grad(v[0], v[1]), (1, 2))

這返回一些靜止點,在此示例中為[0.9424778,2.04203522].它取決于最初的猜測,即(1,2).通常(但并非總是),您將獲得接近最初猜測的解決方案.

這比直接最小化方法具有優勢,因為也可以檢測鞍點.盡管如此,找到所有解決方案仍然很困難,因為每次運行fsolve只會產生一個.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python自定义函数找最大值_python – 查找用户定义函数的局部最大值和最小值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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