單縫衍射現(xiàn)象如下圖所示：

半波帶法分析衍射圖樣

半波帶

如上圖，分析P點(diǎn)處是亮條紋還是暗條紋。現(xiàn)將 BC 分成 N 等份, 每份長度為λ/ 2, 即把波面 AB 切割成 N 個波帶, 使得相鄰兩個波帶上的對應(yīng)點(diǎn)所發(fā)出的次波到達(dá) P 點(diǎn)處的光程差均為λ/ 2 。對于某一確定的衍射角( heta)，若 BC 恰好為半波長的偶數(shù)倍，則在P點(diǎn)處各相鄰兩個子波帶干涉相消，整體將呈現(xiàn)為暗條紋中心。若 BC 恰好為半波長的奇數(shù)倍，相鄰波帶的光在P點(diǎn)干涉相消，還剩一個波帶的光到達(dá)P點(diǎn)，于是 P 點(diǎn)處將呈現(xiàn)為明條紋中心；衍射角越大，對應(yīng)明條紋越暗。對于某衍射角，如果波振面AB不能恰好分出整數(shù)個半波帶，則屏上對應(yīng)點(diǎn)強(qiáng)度介于明和暗之間。

綜上，暗條紋中心

egin{equation*}
bsin heta=pm klambda,k=1,2,3,cdots
end{equation*}

明條紋中心（近似）

egin{equation*}
bsin heta=pm klambda,k=0,1,2,3,cdots
end{equation*}

強(qiáng)度分布

研究寬度為(b)的無限長單縫產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。假設(shè)一列平面波垂直入射到單縫上，現(xiàn)在需要計算透鏡焦平面上的屏上的強(qiáng)度分布。縫可以看做是由大量等間距的點(diǎn)光源組成，并且認(rèn)為，縫上每一點(diǎn)都是一個惠更斯子波源，它們發(fā)出的子波互相干涉。設(shè)點(diǎn)光源(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)，并設(shè)相鄰點(diǎn)光源的間隔為(Delta)，如下圖所示。

如果點(diǎn)光源的數(shù)目為(n)，則

[b=(n-1)Delta
]

現(xiàn)在需要計算(n)個點(diǎn)光源在點(diǎn)(P)的總疊加場。點(diǎn)(P)是透鏡焦平面上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)所能接收的平行光與狹縫法線的夾角為( heta)。實(shí)際上縫是由連續(xù)分步的點(diǎn)光源組成，所以在最后的結(jié)果表達(dá)式中，將是(n)趨于無窮大，(Delta)趨于零，并保持(nDelta)趨于(b)。

點(diǎn)(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)到點(diǎn)(P)的距離比縫寬(b)是很大的，所以，從這些點(diǎn)達(dá)到點(diǎn)(P)的振動的振幅幾乎完全相等。但是，雖然它們到點(diǎn)(P)的距離只有微小的差別，但是相位差不可忽略。

對于垂直入射的平面波，在點(diǎn)(A_1)，(A_2)，(A_3)，(ldots)是同相位的。點(diǎn)(A_2)發(fā)出的波與點(diǎn)(A_1)發(fā)出的波的光程差為(overline{A_2A_2'})

[overline{A_2A_2'}=Delta sin heta
]

相應(yīng)的相位差

[phi=frac{2pi}{lambda}Delta sin heta
]

同理，相鄰點(diǎn)發(fā)出的相位差也是(phi)。如果點(diǎn)(A_1)發(fā)出的波在點(diǎn)(P)產(chǎn)生的場(E_0cos omega t)，因此，各點(diǎn)在點(diǎn)(P)產(chǎn)生的合振動為

[E=E_0{cos omega t+cos (omega t-phi)+ldots+cos [omega t-(n-1)phi)]}
]

如下圖可計算點(diǎn)(P)處的合振動

計算結(jié)果為

[E=frac{E_0sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}cos[omega t -(n-1)phi/2]
]

也可以用復(fù)數(shù)法得到上述結(jié)果。

[widetilde{E}=E_0e^{iomega t}[1+e^{-iphi}+ldots+e^{-i(n-1)phi}]=E_0e^{iomega t}frac{1-e^{-i n phi}}{1-e^{-i phi}}
]

[=E_0frac{e^{i n phi/2}-e^{-i n phi/2}}{e^{i phi/2}-e^{-i phi/2}}frac{e^{-i n phi/2}}{e^{-i phi/2}}e^{iomega t}
]

[=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}e^{left {ileft [omega t-(n-1)frac{phi}{2}ight ] ight }}
]

點(diǎn)(P)處，合振幅

[E_P=E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{sinfrac{phi}{2}}approx E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{phi}{2}}=(n-1)E_0frac{sinfrac{(n-1)phi}{2}}{frac{(n-1)phi}{2}}
]

在(nightarrow infty)和((n-1)Deltaightarrow b)情況下，

[frac{(n-1)phi}{2}=pi (n-1)Deltasin heta /lambda ightarrow pi bsin heta /lambda
]

令(eta=pi bsin heta /lambda)，因此有點(diǎn)(P)處的振動為

[E=(n-1)E_0frac{sin eta}{eta}cos(omega t - eta)
]

光強(qiáng)

[I=I_0frac{sin^2 eta}{eta^2}
]

其中，(I_0)為( heta=0)處的光強(qiáng)。

夫瑯禾費(fèi)單縫衍射強(qiáng)度分布見下圖

極大值與極小值的位置

極小值的位置由下述關(guān)系給出

[eta=kpi
]

即

[bsin heta =klambda, k=pm 1,pm 2,ldots
]

極大值由以下超越方程的根給出

[ an eta=eta
]

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的夫琅禾费单缝衍射的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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