學(xué)習(xí)筆記
參考書目：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》、《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型及R語言應(yīng)用》、《時(shí)間序列分析及應(yīng)用R語言》

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時(shí)間序列分析之基本概念

時(shí)間序列的含義

從統(tǒng)計(jì)上來說，時(shí)間序列就是將某一個(gè)指標(biāo)在不同時(shí)間上的不同數(shù)值，按照時(shí)間的先后順序排列而成的序列。

從數(shù)學(xué)意義上講，設(shè)$X(t)(t\in T)$是一個(gè)隨機(jī)過程，$X_i(i=1,2,...,n)$是在時(shí)刻$i$對過程$X(t)$的觀測值，則$X_i(i=1,2,...,n)$稱為一次樣本實(shí)現(xiàn)，也就是一個(gè)時(shí)間序列。

從系統(tǒng)意義上來說，時(shí)間序列就是某一系統(tǒng)在不同時(shí)間(地點(diǎn)、條件等)的響應(yīng)。這個(gè)定義不僅指出時(shí)間序列是按照一定順序排列而成的，而且這里的一定順序不一定是指時(shí)間順序，也可以是具有各種不同意義的物理量。

時(shí)間序列的分類

• 按研究對象的多少分類：單變量時(shí)間序列和多變量時(shí)間序列。

多變量時(shí)間序列不僅描述了各個(gè)變量的變化規(guī)律，而且揭示了各變量間的相互依存關(guān)系的動(dòng)態(tài)規(guī)律性。

• 按時(shí)間的連續(xù)性分類：離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列

• 按序列的統(tǒng)計(jì)特性分類：平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列

隨機(jī)過程是否具有平穩(wěn)性對于時(shí)間序列預(yù)測十分重要，這一性質(zhì)保證了隨機(jī)過程的結(jié)構(gòu)不會(huì)隨著時(shí)間變化，這是準(zhǔn)確預(yù)測的必要條件。

• 按時(shí)間序列的分布規(guī)律分類：高斯時(shí)間序列和非高斯時(shí)間序列

服從高斯分布的時(shí)間序列叫高斯時(shí)間序列，否則為非高斯時(shí)間序列。對于某些非高斯時(shí)間序列，往往可以經(jīng)過適當(dāng)變換，近似看成高斯時(shí)間序列。

平穩(wěn)和非平穩(wěn)

• 平穩(wěn)隨機(jī)過程

假設(shè)某一時(shí)間序列是由某個(gè)隨機(jī)過程生成的，即假定時(shí)間序列$X_t(t=1,2,...,n)$的每個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到的，如果$X_t$滿足下列條件：

①均值$E(X_t)=\mu$,均值是與時(shí)間$t$無關(guān)的常數(shù)

②方差$Var(X_t)={\sigma }^2$,方差是與時(shí)間$t$無關(guān)的常數(shù)

③協(xié)方差$Cov(X_t,X_{t+k})={\gamma }_k$,協(xié)方差只與時(shí)間間隔$k$有關(guān).

則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是款平穩(wěn)的，該隨機(jī)過程是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程。

• 白噪聲

舉個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的例子：白噪聲

最簡單的隨機(jī)時(shí)間序列$X_t$是一個(gè)具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列：
$$X_t={\mu }_t,{\mu }_t～N(0,{\sigma }^2)$$
則該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲。

• 隨機(jī)游走

舉一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的例子：隨機(jī)游走

有如下隨機(jī)過程生成：
$$X_t=X_{t?1}+{\mu }_t$$
這里${\mu }_t$是一個(gè)白噪聲。

容易知道，該序列有相同的均值$E(X_t)=E(X_{t?1})$.為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)$X_t$的初值為$X_0$，則易知：
$$\begin{gathered} X_1=X_0+{\mu }_1 \\ {X}_2=X_1+{\mu }_2=X_0+{\mu }_1+{\mu }_2 \\ {X}_t=X_0+{\mu }_1+{\mu }_2+...+{\mu }_t \end{gathered}$$
設(shè)初值$X_0$為常數(shù)，${\mu }_t$是白噪聲，則$Var(X_t)=t{\sigma }^2$,即$X_t$的方差與時(shí)間$t$有關(guān)而非常數(shù)，故他是非平穩(wěn)時(shí)間序列。

• 圖示

給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過該序列的時(shí)序圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。平穩(wěn)時(shí)間序列在圖形上往往表現(xiàn)出種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程，而非平穩(wěn)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值(如持續(xù)上升或持續(xù)下降)

時(shí)間序列的自相關(guān)性

自相關(guān)函數(shù)ACF

自相關(guān)函數(shù)是衡量序列$y_t$中任意兩個(gè)元素之間相關(guān)程度的度量。對于隨機(jī)過程{$y_t$},元素$y_t$與$y_{t+k}$之間的自相關(guān)函數(shù)定義如下：
$${\rho }_k=\frac{cov(y_t,y_{t+k})}{\sqrt{var(y_t)var(y_{t+k})}}$$
自相關(guān)系數(shù)${\rho }_k$的序列{${\rho }_k$}($k=0,\pm 1,\pm 2,...$),稱為自相關(guān)函數(shù)(ACF)

當(dāng)$y_t$為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)：
$${\rho }_k=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0}=\frac{cov(y_t,y_{t+k})}{var(y_t)}$$
由定義知，對任意隨機(jī)過程${\rho }_0=1$,由公式可知，${\rho }_k$是一個(gè)無量綱量。${\gamma }_k$是時(shí)間序列滯后$k$期的協(xié)方差，${\gamma }_0$為方差，因此自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期$k$的遞減函數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算中，我們只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)，其樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：
$$\widehat{{\rho }_k}=\frac{{\sum }_{i=1}^{n?k}(y_t?\overline{y})(y_{y+k}?\overline{y})}{{\sum }_{i=1}^n(y_t?\overline{y}{)}^2}k=1,2,3...$$

• 圖示

隨著$k$的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于0.但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。

自相關(guān)性判別

• 圖示法

時(shí)間序列模型著重研究的是樣本關(guān)系，因此自相關(guān)函數(shù)在樣本中占有重要地位。

我們可以繪制滯后q期($Y_{t?q}$)與當(dāng)期($Y_t$)的散點(diǎn)圖，來判斷是否存在自相關(guān)性。

也可以繪制acf圖來判斷時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)性情況。值得注意的是，若存在$y_t$與$y_{t+k}$之間的樣本自相關(guān)函數(shù)$\widehat{{\rho }_k}$,滿足|$\widehat{{\rho }_k}$|<$\frac{1.96}{\sqrt{n}}$,我們就有95%的把握判斷原時(shí)間序列不存在k階自相關(guān)。閾值$\frac{1.96}{\sqrt{n}}$，在acf圖中應(yīng)該會(huì)以虛線標(biāo)出。

• 假設(shè)檢驗(yàn)

①Box-Pierce檢驗(yàn)

伯克斯和皮爾斯提出的Q統(tǒng)計(jì)量，可以檢驗(yàn)時(shí)間序列的相關(guān)性，Q統(tǒng)計(jì)量定義為：
$$Q=n\sum _{k=1}^m{\widehat{{\rho }_k}}^2～{\chi }^2(m)$$
其中，樣本量為你，m為滯后長度。在大樣本情況下，它近似服從自由度為m的${\chi }^2$分布。若計(jì)算出的Q值大于一定顯著性水平下${\chi }^2$分布的臨界值，則拒絕所有${\rho }_k$同時(shí)為0的原假設(shè)，則序列存在自相關(guān)性。

②Ljung-Box檢驗(yàn)

巴特雷特曾證明，如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成，則對所有的$k>0$,樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從均值為0、方差為1/n的正態(tài)分布，其中n為樣本量。也可檢驗(yàn)對所有的$k>0$，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下$Q_{LB}$統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：

$$Q_{LB}=n(n+2)\sum _{k=1}^m\frac{{\widehat{{\rho }_k}}^2}{n?k}～{\chi }^2(m)$$

該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的${\chi }^2$分布.因此，如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平$\alpha$的臨界值，則有$1?\alpha$的把握拒絕所有${\rho }_k(k>0)$同時(shí)為0的假設(shè)。

$Q_{LB}$統(tǒng)計(jì)量比Q統(tǒng)計(jì)量有更好的小樣本性(也就是在統(tǒng)計(jì)意義上更有效)，所以$Q_{LB}$統(tǒng)計(jì)量常用來檢驗(yàn)小樣本的序列相關(guān)性。

R語言實(shí)現(xiàn)

繪制滯后一期與當(dāng)期散點(diǎn)圖：

library(TSA)y <- c(55,52,42,32,37,36,57,66,66,62,45,77,78,60,65)plot(y, x = zlag(y, 1), xlab = expression(Y[t-1]), ylab = expression(Y[t]), type = 'p', main = '滯后一期與當(dāng)期的散點(diǎn)圖')

圖像：

由上圖可以看出$y_t$與$y_{t?1}$貌似有那么點(diǎn)相關(guān)性。

繪制acf圖：

acf(y, main = '自相關(guān)圖')

圖像：

可以看到一階自相關(guān)系數(shù)顯著，則可能存在一階自相關(guān)性。

計(jì)算自相關(guān)系數(shù)：

acf(y)$ac

控制臺(tái)輸出：

[,1][1,] 0.56735082[2,] 0.25659445[3,] 0.11299886[4,] -0.04724439[5,] 0.02717598[6,] -0.12748005[7,] -0.20916002[8,] -0.30212847[9,] -0.36191562 [10,] -0.22478145 [11,] -0.12675789

Ljung-Box檢驗(yàn)：

Box.test(y, type = 'Ljung-Box')

控制臺(tái)輸出：

Box-Ljung testdata: y X-squared = 5.8629, df = 1, p-value = 0.01546

可以看到p值小于0.05的顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，序列存在自相關(guān)性。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列与R语言应用(part1)--时间序列基本概念的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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