學習筆記

參考書目：《計量經(jīng)濟學》、《計量經(jīng)濟學模型與R語言應用》

---

文章目錄

• • • 一階移動平均過程
    • $q$階移動平均過程
    • 可逆性

---

一階移動平均過程

在研究$q$階移動平均過程之前，我們先以一階移動平均過程開刀，即$MA(1)$序列, 一階移動平均模型表達式為：
$$Y_t=e_t?\theta e_{t?1}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$e_t$和$e_{t?1}$都是白噪聲，顯然，$E(Y_t)=0,Var(Y_t)={\sigma }_e^2(1+{\theta }^2)$，此時有：
$$Cov(Y_t,Y_{t?1})=Cov(e_t?\theta e_{t?1},e_{t?1}?\theta e_{t?2})=?\theta Cov(e_{t?1},e_{t?1})=?\theta {\sigma }_e^2\text{\hspace{1em}(2)}$$
和：
$$Cov(Y_t,Y_{t?2})=Cov(e_t?\theta e_{t?1},e_{t?2}?\theta e_{t?3})=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

對于$k\ge 2,Cov(Y_t,Y_{t?k})=0$，即過程大于1階滯后時，不存在自相關。

通過上面的信息，我們可以得到該$MA(1)$過程的1階自相關函數(shù)為：
$${\rho }_1=\frac{Cov(Y_t,Y_{t?1})}{Var(Y_t)}=\frac{?\theta }{1+{\theta }^2}\text{\hspace{1em}(4)}$$
顯然，若存在：
$$Y_t=e_t?\eta e_{t?1}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中$\eta =1/\theta$，則有1階自相關函數(shù)：
$${\rho }_1=\frac{?\eta }{1+{\eta }^2}=\frac{?1/\theta }{1+{1/\theta }^2}=\frac{?\theta }{1+{\theta }^2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

通過這個結果，我們看到$\theta$被$1/\theta$代替時，自相關函數(shù)完全相同。

$q$階移動平均過程

對于q階移動平均過程:
$$Y_t=e_t?{\theta }_1{e}_{t?1}?{\theta }_2{e}_{t?2}?...?{\theta }_q{e}_{t?q}\text{\hspace{1em}(7)}$$
其中,$e_t,e_{t?1},e_{t?2},...,e_{t?q}$，都是白噪聲，于是有：
$$\begin{gathered} E(Y_t)=0 \\ {\gamma }_0=Var(Y_t)=(1+{\theta }_1^2+...+{\theta }_q^2){\sigma }_e^2 \\ {\gamma }_1=Cov(Y_t,Y_{t?1})=(?{\theta }_1+{\theta }_1{\theta }_2+{\theta }_2{\theta }_3+...+{\theta }_{q?1}{\theta }_q){\sigma }_e^2 \\ ...... \\ {\gamma }_{q?1}=Cov(Y_t,Y_{t?q+1})=(?{\theta }_{q?1}+{\theta }_1{\theta }_q){\sigma }_e^2 \\ {\gamma }_q=Cov(Y_t,Y_{t?q})=?{\theta }_q{\sigma }_e^2 \end{gathered}$$
對于$k>q,Cov(Y_t,Y_{t?k})=0$，即過程大于q階滯后時，不存在自相關。則根據(jù)平穩(wěn)性條件，有限階的移動平均模型總是平穩(wěn)的。

可逆性

根據(jù)上一個Blog的證明，自回歸AR過程也可以被認為是一個無窮階移動平均過程.但是由于某些原因，自回歸表達式更便利。那么，移動平均模型可以被重新表示為自回歸模型嗎？

考慮$MA(1)$模型：
$$Y_t=e_t?\theta e_{t?1}\text{\hspace{1em}(8)}$$

先把方程改寫成$e_t=Y_t+\theta e_{t?1}$，再遞推可得：
$$e_t=Y_t+\theta (Y_{t?1}+\theta e_{t?2})=Y_t+\theta Y_{t?1}+{\theta }^2{e}_{t?2}$$
若$|\theta |<1$，我們可以對過去值無限重復以上的替代過程，得到表達式：
$$e_t=Y_t+\theta Y_{t?1}+{\theta }^2{Y}_{t?2}+...$$
或：
$$Y_t=(?\theta Y_{t?1}?{\theta }^2{Y}_{t?2}?...)+e_t$$
若$|\theta |<1$，我們可以看到$MA(1)$過程可以逆轉換成一個無窮階的自回歸模型，當且僅當$|\theta |<1$，我們稱$MA(1)$可逆。

對于一般的$MA(q)$模型，定義MA特征多項式為：
$$\theta (x)=1?{\theta }_{1}x?{\theta }_2{x}^2?...?{\theta }_q{x}^q$$
和相應的MA特征方程：
$$1?{\theta }_{1}x?{\theta }_2{x}^2?...?{\theta }_q{x}^q=0$$
可以證明$MA(q)$模型可逆，當且僅當MA特征方程根的模大于1.

在$MA(1)$過程中，我們看到$\theta$被$1/\theta$代替時，會得到完全一樣的自相關函數(shù)${\rho }_1$。比如：$Y_t=e_t+2e_{t?1}$和$Y_t=e_t+0.5e_{t?1}$有相同的自相關函數(shù),但是只有第2個以特征根為-2的MA過程是可逆的。

---

后記：本次Blog暫無R語言應用,本系列未完待續(xù)…困dog我了

總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列与R语言应用(part5)--移动平均MA模型及其可逆性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。