學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》-張天蓉;

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大自然中的分形

歸納一下前幾個Blog對分形的敘述，我們知道分形有如下幾個特征：

分形具有自相似性。分形自身可以看成是由許多與自己相似的、大小不一的部分組成。

分形具有無窮多的層次。無論在分形的哪個層次，總能看到有更精細的、下一個層次存在。分形圖形有無限細節，可以不斷放大，永遠都有結構。

分形的維數可以是一個分數。

分形通常可以由一個簡單的遞歸、迭代的方法產生出來。

我們再看幾張生活中常見的事物：

由上面這些圖片可以看出，這些分形存在于各種各樣的大自然產物之中。“云不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形，樹皮不是那么光滑，閃電傳播的路徑更不是直線。它們是什么呢？它們都是簡單而又復雜的‘分形’……”

實際上，相比于比較傳統的歐幾里得幾何中所描述的平滑的曲線、曲面而言，分形幾何更能反映大自然中存在的許多景象的復雜性。如果說，歐氏幾何是用抽象的數學模型對大自然作了一個最粗略的近似，而分形幾何則對自然作了更精細的描述。分形是大自然的基本存在形式，無處不在，隨處可見。

那么這時，我們可能提出一個問題：我們看到科赫曲線，分形龍和計算機生產出來的分形都是嚴格自相似的，那么為什么大自然的產物，看起來不那么嚴格自相似呢？

這是因為，大自然在創造產物時，總會存在些誤差，偶然因素過多，大自然不是一臺機器。

英國的海岸線有多長

英國的海岸線到底有多長呢？人們可能會不假思索地回答：只要測量得足夠精確，總是能得到一個數值吧。答案當然取決于測量的方法及用這些方法測量的結果。但問題在于，如果用不同大小的度量標準來測量，每次會得出完全不同的結果。度量標準的尺度越小，測量出來的海岸線的長度會越長！

也就是說，用以測量海岸線的尺越小，測量出的長度就會越大，并不會趨向收斂于一個有限固定的結果。

事實上，海岸線和科赫曲線很相似。科學家們應用估算分形維數的方法(可能是豪斯多夫維數?)算出了英國海岸線的分形維數，它大約等于1.25。這個數字與科赫曲線的分形維數很接近。因此，英國海岸線是一個分形，任何一段的長度都是無窮。

其他生成分形的方法

除了由簡單的線性迭代法生成的分形之外，還有另外兩種重要的生成分形的方法：

第一種與隨機過程有關，即線性迭代與隨機過程相結合，自然界中常見的分形，諸如海岸線、山峰、云彩等，更接近于由隨機過程生成的分形。

第二種是用非線性的迭代法，一般而言，最美麗，最令藝術家們著迷的分形大多數是用非線性迭代法產生的。

曼德勃羅集

本華·曼德勃羅（1924－2010）算是美國數學家，雖然他是出生于波蘭的立陶宛猶太家庭的后裔，但12歲時就隨全家移居巴黎，之后的大半生都在美國度過。他的研究范圍非常廣泛，他研究過棉花價格、股票漲落、語言中詞匯分布等。從物理、天文、地理到經濟學、生理學……都有所涉及。曼德勃羅經常自稱是個學術界的“游牧民族”。他長期躲在一個不時髦的數學角落里，游蕩跋涉在各個貌似不相干的正統學科之間狹隘的巷道中，試圖從破碎里找到規律，空集中發現真理。

曼德勃羅用從支離破碎中發現的“分形之美”改變了我們的世界觀，他致力于向大眾介紹分形理論，使分形的研究成果廣為人知。由此，他被譽為20世紀后半葉少有的、影響深遠廣泛的科學偉人之一。

以數學家曼德勃羅命名的曼德勃羅圖便是由非線性迭代方法產生的分形，我們看下面這幅圖，圖中用黑點表示的點就是曼德勃羅集：

曼德勃羅集可稱是人類有史以來做出的最奇異、最瑰麗的幾何圖形，被稱為“上帝的指紋”、“魔鬼的聚合物”。

事實上，這個美麗的圖形只出自于一個簡單的非線性迭代公式：
$$Z_{n+1}=Z_n^2+C\text{\hspace{1em}(1)}$$

公式(1)中的$Z$和$C$都是復數。我們知道，每個復數都可以用平面上的一個點來表示：比如，$x$坐標表示實數部分，$y$坐標表示虛數部分。開始時，平面上有兩個固定點：$C$和$Z_0$，$Z_0$是$Z$的初始值。為簡單起見，我們取$Z_0＝0$，于是有：$Z_1＝C$。我們將每次$Z$的位置用亮點表示。也就是說，開始時平面上原點是亮點，一次迭代后亮點移到$C$。再后，根據公式(1)，我們可以計算$Z_2$，它應該等于$C\times C＋C$，亮點移動到$Z_2$。再計算$Z_3$，$Z_4$，…，一直算下去。

此時，我們感興趣的是：如此迭代下去，亮點的位置趨于兩種情形中的哪一個？是在有限的范圍內轉悠呢？還是將會跳到無限遠處不見蹤影？因為$Z$的初始值固定在原點，顯然，無限迭代時$Z$的行為取決于復數$C$的數值。

這樣，我們便可以得出曼德勃羅集的定義：所有使得無限迭代后的結果能保持有限數值的復數C的集合，構成曼德勃羅集。

我們要注意的是，計算機中的"無限"，并不是真的"無限"。實際上，當迭代次數$k$達到一定的數目時，就當作是無限多次了。判斷$Z$是否保持有限，也是同樣的意思。當$Z$離原點的距離超過某個大數，就算作是無窮遠了。

我們現在把曼德勃羅集放大,放大，再放大：

從放大的曼德勃羅集中可以看到，黑點和非黑點混雜在一起，貌似這個曼德勃羅集沒有一條明確的界限。

不用擔心，曼德勃羅集的邊界有著令人吃驚的復雜結構，看不到一條清晰的邊界。屬于曼德勃羅集合的點和非曼德勃羅集合的點，以很不一般的方式混合在一起，你中有我，我中有你，黑白一點也不分明。這也正是這種分形的特征……

朱利亞集

現在，我們看另一個美妙的圖形：

這個圖形是啥呢？這個就是對應于曼德勃羅集中某個點的朱利亞集。換句話說，曼德勃羅圖形上的每一個不同的點，對應一個不同的朱利亞集，朱利亞集和曼德勃羅集是有密切關系的，它們互為“親戚”。

我們知道，曼德勃羅圖形上的每一個點代表迭代公式(1)中不同的$C$值.因此，給定一個$C$，就能產生一個朱利亞集。的確，朱利亞集是用與曼德勃羅集同樣的非線性迭代公式(1)產生的.不同的是，產生曼德勃羅集時，$Z$的初值固定在原點，用$C$來標識軌道的發散性；而產生朱利亞集時，我們則將$C$值固定，用$Z$的初始值$Z_0$來標識軌道的發散性。

從朱利亞集的生成過程可以看出：對應于曼德勃羅集中的每一個點，都有一個朱利亞集。比如說，點擊曼德勃羅集上的零點（對應的C值為0），這時候作上述迭代產生的朱利亞集是個單位圓。

下圖，顯示了曼德勃羅集中不同的點所對應的朱利亞集：

我們了解了美妙的曼德勃羅集和朱利亞集圖形的產生過程。這種非線性迭代法產生的分形不僅僅以其神秘復雜、變換多姿受到藝術家們的寵愛，博得數學及計算機愛好者們的青睞，也推動了與此緊密相關的混沌理論及非線性動力學的發展。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part3)-引领任何科学发展的，从来都是伟大的思想而不是繁琐的公式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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