學習筆記
學習書目：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 》-張天蓉；

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文章目錄

• • • 倍周期分岔
    • 費根鮑姆常數

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倍周期分岔

羅伯特·梅，將混沌魔鬼的誕生歸結為系統周期性的一次又一次突變。或者，用一個更學術化的術語來說，叫做倍周期分岔現象。下圖就是從邏輯斯蒂方程中，產生的倍周期分岔現象：

周期分岔現象除了有自相似性的特征，還有一個重要的特性：普適性。

除了生物群體數的變化之外，倍周期分岔現象還存在于其他很多非線性系統中。系統的參數變化時，系統的狀態數越來越多，返回某一狀態的周期加倍又加倍，最后從有序走向混沌。比如物理學中原來認為最簡單的單擺，也暗藏著混沌魔鬼，當外力加大時，新的頻率分量不斷出現，擺動周期不斷地加長，最后過渡到混沌。

到處都有倍周期分岔，以及接踵而至的混沌魔鬼，這是普適性的定性方面。普適性的另一個方面——定量方面，則與分岔的速度有關。

費根鮑姆常數

切爾·費根鮑姆（1944— ）是美國數學物理學家。

費根鮑姆平時喜歡寫點小程序，用計算來驗證物理猜想。早在十幾年前的大學時代，首次使用電腦時，他就在一小時之內寫出了一個用牛頓法開方的程序。 這次，費根鮑姆感興趣的是邏輯斯蒂分岔圖中出現得越來越多的那些三岔路口：

他用計算器編程序算出每個三岔路口的坐標，即k值和相應的x_無窮值.

費根鮑姆注意到隨著k的增大，三岔路口到來得越來越快，越來越密集。從第一個三岔口k1開始：$k1＝3$，$k2＝3.44948697$, $k3＝3.5440903$，$k4＝3.5644073$，$k5＝3.5687594$

僅僅從k的表面數值，費根鮑姆沒有看出什么名堂，于是，他又算出相鄰三岔路口間的距離$d$：
$$\begin{gathered} d_1=k_2?k_1=0.4495 \\ {d}_2=k_3?K_2=0.0946 \\ {d}_3=k_4?K_3=0.0203 \\ {d}_4=k_5?k_4=0.00435 \end{gathered}$$
從這些$d$之間，費根鮑姆好像看出點規律來啦！每次算出的下一個$d$，都大約是上一個$d$的五分之一！當然，并不是準確的五分之一，好像有個什么常數在這兒作怪，多計算幾項看看吧：
$$\begin{gathered} d_1/d_2=4.7514 \\ {d}_2/d_3=4.6562 \\ {d}_3/d_4=4.6683 \\ {d}_4/d_5=4.6686 \\ {d}_5/d_6=4.6692 \\ {d}_6/d_7=4.6694 \end{gathered}$$
上面列出的這些比值都很接近，但又并不完全相同，兩個相鄰比值之間的差別卻越來越小。費根鮑姆作了一個猜測，這個比值，$(k_n－k_{n－1})/(k_{n＋1}－k_n)$當n趨于無窮時，將收斂于一個極限值：
$$\delta =4.669201609$$
同時，費根鮑姆也注意到，分岔后的寬度$w$也是越變越小(見上面的邏輯斯蒂分岔圖), 那么，寬度的比值是否也符合某個規律呢？計算結果再次驗證了費根鮑姆的想法，當n趨于無窮時，比值$w_n/w_{n+1}$將收斂于另一個極限值：
$$\alpha =2.502907875$$
原來這個分岔圖中隱藏著兩個常數!

一個新概念、新理論的誕生往往伴隨著新常數的出現，比如牛頓力學中的萬有引力常數G，量子力學中的普朗克常數h，相對論中的光速c……

費根鮑姆想，難道這是反映混沌世界出現的兩個特別常數？如果只是與有序到混沌的過程有關，那么，除了邏輯斯蒂系統之外，在別的系統，混沌魔鬼是不是也按照這個規律出現呢？

想到這兒，費根鮑姆再一次對另一個簡單的非線性系統（正弦映射系統）：
$$x_{n+1}=ksin(x_n)$$
產生混沌的倍周期分岔過程進行研究。

對正弦映射系統倍周期分岔過程的計算結果讓費根鮑姆激動不已，因為結果表明：正弦映射系統中的混沌魔鬼，與邏輯斯蒂系統的混沌魔鬼，遵循著一模一樣的規律。它們誕生的速度比值中都有一個同樣的幾何收斂因子：
$$\delta =4.669201609$$
岔后的寬度也和邏輯斯蒂系統的分岔寬度，遵循同樣的幾何收斂因子而減小：
$$\alpha =2.502907875$$
正弦映射和邏輯斯蒂映射的迭代函數完全不一樣，一個是正弦函數，另一個邏輯斯蒂映射，但是這兩個系統中的混沌卻以同樣的速度產生。

$\delta$和$\alpha$兩個費根鮑姆常數與迭代函數的細節無關，它們反映的物理本質應該是只與混沌現象，或者說只與有序到無序過渡的某種物理規則有關，這就是費根鮑姆常數的普適性。

之后，人們發現，只要是通過倍周期分岔而從有序到無序產生混沌的過程，都符合費根鮑姆常數所描述的規律。不過，對于費根鮑姆常數更深一層的物理本質，似乎知之甚少。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的走近分形与混沌(part11)--一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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