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文章目錄

• • 時間序列
  • • 四種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程
    • • 隨機(jī)游走過程
      • 隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程或差分平穩(wěn)過程、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過程
      • 趨勢平穩(wěn)過程或退勢平穩(wěn)過程
      • 確定性趨勢非平穩(wěn)過程
      • 看圖判斷
      • 隨機(jī)趨勢過程與平穩(wěn)的AR(1)過程的區(qū)別
      • 為何用經(jīng)濟(jì)序列建立模型之前應(yīng)先取對數(shù)
      • 備注

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時間序列

四種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過程

隨機(jī)游走過程

隨機(jī)游走過程(random walk)，屬于非平穩(wěn)過程：
$$y_t=y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$

隨機(jī)游走的差分過程是平穩(wěn)過程(白噪聲過程):

$$\Delta y_t=u_t$$

隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程或差分平穩(wěn)過程、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過程

隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程（stochastic trend process）或差分平穩(wěn)過程（difference- stationary process）、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過程（non-stationary process with drift）。屬于非平穩(wěn)過程：
$$y_t=\mu +y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$

迭代變換：

趨勢平穩(wěn)過程或退勢平穩(wěn)過程

趨勢平穩(wěn)過程（trend-stationary process）或退勢平穩(wěn)過程，屬于非平穩(wěn)過程：
$$y_t=\mu +\alpha t+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$
因?yàn)樵撨^程是由確定性趨勢$\mu +\alpha t$和平穩(wěn)隨機(jī)過程$u_t$組成，所以稱為趨勢平穩(wěn)過程。趨勢平穩(wěn)過程由確定性時間趨勢t所主導(dǎo)。減去確定性時間趨勢項(xiàng)$\alpha t$之后，過程變?yōu)槠椒€(wěn)過程，所以也稱退勢平穩(wěn)過程。

趨勢平穩(wěn)過程的差分過程是過度差分過程：$\Delta y_t=\alpha +u_t?u_{t?1}$

所以應(yīng)該用退勢的方法獲得平穩(wěn)過程：$y_t?\alpha t=\mu +u_t$

確定性趨勢非平穩(wěn)過程

確定性趨勢非平穩(wěn)過程（non-stationary process with deterministic trend），屬于非平穩(wěn)過程：
$$y_t=\mu +\alpha t+y_{t?1}+u_t,u_t～IID(0,{\sigma }^2)$$
確定性趨勢非平穩(wěn)過程中含有隨機(jī)趨勢、確定性趨勢并含有單位根成分。過程由確定性時間趨勢所主導(dǎo)。減去確定性時間趨勢項(xiàng)之后，過程仍是非平穩(wěn)過程。

這種過程的時間趨勢性比隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)過程和退勢平穩(wěn)過程更強(qiáng)烈、明顯。

確定性趨勢非平穩(wěn)過程的差分過程是退勢平穩(wěn)過程：$\Delta y_t=\mu +\alpha t+u_t$

確定性趨勢非平穩(wěn)過程的退勢過程是非平穩(wěn)過程：$y_t?\alpha t=\mu +y_{t?1}+u_t$

只有既差分又退勢才能得到平穩(wěn)過程：$\Delta y_t?\alpha t=\mu +u_t$

看圖判斷

圖9和圖10分別近似于哪種非平穩(wěn)過程：

圖9是對數(shù)的中國國民收入序列，近似于隨機(jī)趨勢非平穩(wěn)序列和退勢平穩(wěn)序列。圖10是中國人口序列，近似于確定性趨勢非平穩(wěn)序列。

隨機(jī)趨勢過程與平穩(wěn)的AR(1)過程的區(qū)別

為何用經(jīng)濟(jì)序列建立模型之前應(yīng)先取對數(shù)

實(shí)際經(jīng)濟(jì)序列的增長趨勢常常是指數(shù)形式的。如中國的國民收入和消費(fèi)。然而無論隨機(jī)趨勢過程還是趨勢平穩(wěn)過程所設(shè)定的趨勢都是線性的。這是為什么？原因是原序列取對數(shù)后，趨勢項(xiàng)常是線性的。例如，$y_t=e^{\beta t}$，則：
$$Ln{y}_t=\beta t$$
所以用經(jīng)濟(jì)序列建立模型之前應(yīng)先取對數(shù)。這樣既可以用線性趨勢模型描述，又可以消除異方差。

備注

對于單位根過程（差分平穩(wěn)），每個隨機(jī)沖擊都具有長記憶性，方差趨于無窮大，其均值概念變得毫無意義；

對于退勢平穩(wěn)過程，隨機(jī)沖擊只具有有限記憶能力，其影響會很快消失，由其引起的對趨勢的偏離只是暫時的。對退勢平穩(wěn)序列，只要正確估計出其確定性趨勢，即可實(shí)現(xiàn)長期趨勢與平穩(wěn)波動部分的分離。

大量的實(shí)證研究顯示，不變價格的宏觀經(jīng)濟(jì)序列為退勢平穩(wěn)過程的可能性遠(yuǎn)大于名義價格的宏觀經(jīng)濟(jì)序列。中國的GDP、固定資產(chǎn)投資和居民消費(fèi)等序列均為退勢平穩(wěn)序列。這意味著，改革開放以來，中國的經(jīng)濟(jì)增長雖然因?yàn)槭艿礁鞣N沖擊因素的影響而出現(xiàn)不同程度的偏離趨勢的上下波動，但這種偏離是暫時的，從較長時期來看，經(jīng)濟(jì)增長總體上沿著確定的均衡增長路徑平穩(wěn)運(yùn)行。

而隨機(jī)趨勢過程雖然也有長期‘引力線’，但其數(shù)據(jù)生成過程含有單位根，隨機(jī)沖擊對它具有持續(xù)的長期影響。只有通過差分才能使其平穩(wěn)，屬于差分平穩(wěn)過程。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part5)--四种典型的非平稳随机过程的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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