學(xué)習(xí)筆記，僅供參考，有錯必究

---

文章目錄

• • 時間序列習(xí)題
  • • ARIMA模型案例分析
    • • 案例1：中國人口時間序列模型
      • 案例2: 中國糧食產(chǎn)量序列($y_t$)的MA模型
      • 案例3: 日本人口時間序列模型

---

時間序列習(xí)題

ARIMA模型案例分析

案例分析將涉及如下若干內(nèi)容：

（ 1 ）對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析；

（ 2 ）模型的選擇和估計過程；

（ 3 ） 3 個檢驗標(biāo)準(zhǔn)；

（ 4 ）怎樣寫表達(dá)式；

（ 5 ）模型參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義解釋；

（ 6 ）預(yù)測（動態(tài)、靜態(tài)、結(jié)構(gòu)非結(jié)構(gòu)）

案例1：中國人口時間序列模型

下面通過對人口序列$y_t$和人口差分序列$D_{y_t}$的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖分析判別其平穩(wěn)性以及
識別 ARIMA 模型形式：

下面通過分析$D{y}_t$的相關(guān)圖，偏相關(guān)圖確立 ARMA 模型形式：

分別按 ARMA(1,1) 、 AR(1) 、 AR(2) 、 MA(1) 和 MA(2) 估計模型，得結(jié)果見表 1 。通過比較 t 檢驗和 Q 檢驗， 5 個估計模型以 AR(1) 模型估計結(jié)果最為合理。最終選定 AR(1) 模型。

AR(1) 模型的 EViews 輸出結(jié)果如下：

表達(dá)式按如下方式書寫：

模型參數(shù)都通過了顯著性 t 檢驗。

注意：

(1)根據(jù) Wold 分解定理， EViews 的輸出格式表示的是，對序列$(D{y}_t?0.1429)$建立 AR(1)模型，而不是對$D{y}_t$建立 AR(1) 模型。

(2)輸出結(jié)果中的 0.1429 是$D{y}_t$的均值，不是模型漂移項。以 AR(1) 過程$x_t={\theta }_0+{?}_1{x}_{t?1}+u_t$為例，兩側(cè)求期望，得均值$\mu$和漂移項${\theta }_0$的關(guān)系是：

(3) 有沒有漂移項對求特征方程和特征根無影響，模型殘差的相關(guān)圖和偏相關(guān)圖如下：

因為Q(2) ~ Q(10) 的值對應(yīng)的概率都比 0.05 大，可以認(rèn)為模型誤差序列為非自相關(guān)序列。

注意，估計的 ARMA 模型是否成立應(yīng)該從 3 個方面檢查：

• 模型參數(shù)必須通過 t 檢驗；
• 全部的特征根的倒數(shù)必須在單位圓以內(nèi)；
• 模型的殘差序列必須通過 Q 檢驗。

下面進(jìn)行預(yù)測：

已知 2001 年中國人口實際數(shù)是 12.7627 億人。預(yù)測誤差為：

案例2: 中國糧食產(chǎn)量序列($y_t$)的MA模型

通過這個例子分析怎樣建立 MA 模型。

1949-2006 年中國糧食產(chǎn)量序列（$y_t$，萬噸）的序列見圖 1 。該序列與中國的其他宏觀序列如 GDP 、宏觀消費的特征不同，存在著明顯的周期性變化。中國糧食產(chǎn)量序列的兩期移動平均序列見圖 2 。中國糧食產(chǎn)量序列（$y_t$）是一個非平穩(wěn)序列。其差分序列的相關(guān)圖見圖 3 。

$D{y}_t$并不是一個白噪聲過程。盡管自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都在正負(fù)兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，但是 Q(10) 對應(yīng)的 p 值只有 0.01 。經(jīng)分析有可能建立的模型形式有 ARMA(4,4) 、 AR(4) 、 AR(8) 、MA(4) 和 MA(10)，估計結(jié)果見表 1 .

MA(10) 模型估計結(jié)果最理想。 EViews 輸出結(jié)果見圖 4 。參數(shù) t 檢驗都有顯著性，特征
根倒數(shù)都在單位圓之內(nèi)， Q(10) 對應(yīng)的p值是 0.28 ，大于 0.05 。三個條件都得到滿足。

805.8 是糧食年增量的均值（與樣本平均數(shù) 674.2 萬噸差異較大）。說明糧食年增量存在著大約 10 年的變化周期（ 10 期的自相關(guān)表現(xiàn)最強）。

模型殘差序列的相關(guān)圖：

案例3: 日本人口時間序列模型

由圖1中的相關(guān)圖可以判定日本人口序列$y_t$是一個非平穩(wěn)序列。

由圖2可以看出日本人口差分序列$D{y}_t$是一個平穩(wěn)序列。

圖3是日本人口的二次差分序列$DD{y}_t$。它也是一個平穩(wěn)序列。差分序列$D{y}_t$的極差是 0.059 ，差分序列 DD y t 的極差是 0.087 。可見$DD{y}_t$是一個過度差分序列。應(yīng)該用$D{y}_t$建立時間序列模型。

繪制相關(guān)以及偏相關(guān)圖.

依據(jù)相關(guān)圖和偏相關(guān)圖有可能建立的模型是 AR (4) 、 AR (3) 、 ARMA (1,1) 。估計結(jié)果見下表：

第 3 、 4 個模型都可以。

第 3 個模型表達(dá)式是：

第 4 個模型表達(dá)式是：

由$D{y}_t$的相關(guān)圖、偏相關(guān)圖初步判定應(yīng)建立均值非零的 AR(3) 或 AR(4) 模型。估計結(jié)果如下： 先估計 AR(4) 模型，化簡至 AR(3) 模型：

模型特征方程的 3 個根是：

圖 5顯示模型的殘差中已不含有自回歸和移動平均成分:

對應(yīng)的模型表達(dá)式是：

t 值、特征根和 Q 值都通過了檢驗，說明這是一個滿意的日本人口模型。

下面利用模型 (1.79) 預(yù)測$y_{1995}$ ，并計算預(yù)測誤差。已知$d{y}_{1994}=0.0027$ ，$d{y}_{1992}=0.00409$ 則預(yù)測結(jié)果是：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part12)--习题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。