學習筆記，僅供參考，有錯必究

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文章目錄

• • 時間序列習題
  • • ARIMA模型案例分析
    • • 案例1：中國人口時間序列模型
      • 案例2: 中國糧食產量序列($y_t$)的MA模型
      • 案例3: 日本人口時間序列模型

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時間序列習題

ARIMA模型案例分析

案例分析將涉及如下若干內容：

（ 1 ）對數據的統計分析；

（ 2 ）模型的選擇和估計過程；

（ 3 ） 3 個檢驗標準；

（ 4 ）怎樣寫表達式；

（ 5 ）模型參數的經濟含義解釋；

（ 6 ）預測（動態、靜態、結構非結構）

案例1：中國人口時間序列模型

下面通過對人口序列$y_t$和人口差分序列$D_{y_t}$的相關圖，偏相關圖分析判別其平穩性以及
識別 ARIMA 模型形式：

下面通過分析$D{y}_t$的相關圖，偏相關圖確立 ARMA 模型形式：

分別按 ARMA(1,1) 、 AR(1) 、 AR(2) 、 MA(1) 和 MA(2) 估計模型，得結果見表 1 。通過比較 t 檢驗和 Q 檢驗， 5 個估計模型以 AR(1) 模型估計結果最為合理。最終選定 AR(1) 模型。

AR(1) 模型的 EViews 輸出結果如下：

表達式按如下方式書寫：

模型參數都通過了顯著性 t 檢驗。

注意：

(1)根據 Wold 分解定理， EViews 的輸出格式表示的是，對序列$(D{y}_t?0.1429)$建立 AR(1)模型，而不是對$D{y}_t$建立 AR(1) 模型。

(2)輸出結果中的 0.1429 是$D{y}_t$的均值，不是模型漂移項。以 AR(1) 過程$x_t={\theta }_0+{?}_1{x}_{t?1}+u_t$為例，兩側求期望，得均值$\mu$和漂移項${\theta }_0$的關系是：

(3) 有沒有漂移項對求特征方程和特征根無影響，模型殘差的相關圖和偏相關圖如下：

因為Q(2) ~ Q(10) 的值對應的概率都比 0.05 大，可以認為模型誤差序列為非自相關序列。

注意，估計的 ARMA 模型是否成立應該從 3 個方面檢查：

• 模型參數必須通過 t 檢驗；
• 全部的特征根的倒數必須在單位圓以內；
• 模型的殘差序列必須通過 Q 檢驗。

下面進行預測：

已知 2001 年中國人口實際數是 12.7627 億人。預測誤差為：

案例2: 中國糧食產量序列($y_t$)的MA模型

通過這個例子分析怎樣建立 MA 模型。

1949-2006 年中國糧食產量序列（$y_t$，萬噸）的序列見圖 1 。該序列與中國的其他宏觀序列如 GDP 、宏觀消費的特征不同，存在著明顯的周期性變化。中國糧食產量序列的兩期移動平均序列見圖 2 。中國糧食產量序列（$y_t$）是一個非平穩序列。其差分序列的相關圖見圖 3 。

$D{y}_t$并不是一個白噪聲過程。盡管自相關系數和偏自相關系數都在正負兩個標準差之內，但是 Q(10) 對應的 p 值只有 0.01 。經分析有可能建立的模型形式有 ARMA(4,4) 、 AR(4) 、 AR(8) 、MA(4) 和 MA(10)，估計結果見表 1 .

MA(10) 模型估計結果最理想。 EViews 輸出結果見圖 4 。參數 t 檢驗都有顯著性，特征
根倒數都在單位圓之內， Q(10) 對應的p值是 0.28 ，大于 0.05 。三個條件都得到滿足。

805.8 是糧食年增量的均值（與樣本平均數 674.2 萬噸差異較大）。說明糧食年增量存在著大約 10 年的變化周期（ 10 期的自相關表現最強）。

模型殘差序列的相關圖：

案例3: 日本人口時間序列模型

由圖1中的相關圖可以判定日本人口序列$y_t$是一個非平穩序列。

由圖2可以看出日本人口差分序列$D{y}_t$是一個平穩序列。

圖3是日本人口的二次差分序列$DD{y}_t$。它也是一個平穩序列。差分序列$D{y}_t$的極差是 0.059 ，差分序列 DD y t 的極差是 0.087 ?？梢?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$DD{y}_t$是一個過度差分序列。應該用$D{y}_t$建立時間序列模型。

繪制相關以及偏相關圖.

依據相關圖和偏相關圖有可能建立的模型是 AR (4) 、 AR (3) 、 ARMA (1,1) 。估計結果見下表：

第 3 、 4 個模型都可以。

第 3 個模型表達式是：

第 4 個模型表達式是：

由$D{y}_t$的相關圖、偏相關圖初步判定應建立均值非零的 AR(3) 或 AR(4) 模型。估計結果如下： 先估計 AR(4) 模型，化簡至 AR(3) 模型：

模型特征方程的 3 個根是：

圖 5顯示模型的殘差中已不含有自回歸和移動平均成分:

對應的模型表達式是：

t 值、特征根和 Q 值都通過了檢驗，說明這是一個滿意的日本人口模型。

下面利用模型 (1.79) 預測$y_{1995}$ ，并計算預測誤差。已知$d{y}_{1994}=0.0027$ ，$d{y}_{1992}=0.00409$ 則預測結果是：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的时间序列研(part12)--习题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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