向量及向量空間

線性代數是研究高維空間中向量的數學分支，十分抽象。向量是物理學中的矢量，為了使讀者感受到線性代數后面的幾何圖像，本書簡要回顧矢量相關知識。代數是工具，幾何是靈魂，一定要重視代數后的幾何，只有看到了幾何，才能抓住本質，化繁為簡，化難為易。

矢量

物理學中的力、速度、加速度和力矩等都是矢量，矢量是即有大小又有方向的量。可隨意平行移動的有向線段可作為矢量的幾何形象。兩個矢量相等只有方向和大小均相等時才相等。矢量向坐標軸投影，獲得每個分量，只有每個對應分量相等，兩個矢量才相等。矢量大小滿足勾股定理，方向為余弦定理。每個分量都乘以相同的實數 $\lambda \ge 0$ 表示矢量大小變為原來的 $\lambda$ 倍，方向不變。矢量每個分量都乘以0 ，變為 $0$ 矢量。每個分量都乘以 $?1$ ，矢量大小不變，方向相反。兩個矢量相加，則對應分量相加，滿足平行四邊形法則。兩個大小相等，方向相反矢量相加，變為 $0$ 矢量。在二維平面內大家都能熟練運用這些規則，可以說達到如火純青程度。

線性代數中向量的運算規則必須遵循這些基本運算規則，因為線性代數是研究矢量的，如果不遵循這些規則，將無法研究矢量。線性代數采用高度抽象的方法來研究矢量，可以不借助幾何圖形，這樣做的好處是，研究方法具有高度的可擴展性，可應用于 $\mathbf{m}$ 維空間。壞處是由于高度抽象，難以借助幾何圖形建立感性認識，學習難度很大。本書借助二維或三維空間內矢量的合成和分解兩個“逆變換”，做到數形結合，描述線性代數后面的幾何圖像。

向量及運算規則

向量向坐標軸投影，得到每個分量，所有分量刻畫向量。二維向量用兩個有序數表示，如向量 $(2,3)$ ，表示 $x$軸分量為2， $y$軸分量為3。三維向量用三個有序數表示，如向量 $(2,3,?4)$ ，表示 $x$軸分量為2， $y$軸分量為3， $z$軸分量為－4。這種定義向量的方式，方便推廣到高維空間。

定義 向量 $m$ 個有序數 $v_1,v_2,?,v_m$ 構成的數組稱為 $m$ 維向量，這 $m$ 個數稱為 $m$ 個分量，第 $i$ 個數 $v_i$ 稱為第 $i$ 個分量，向量記為 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 。

分量全為實數的向量稱為實向量，分量為復數的向量稱為復向量。本書中除特別指明者外，一般只討論實向量。向量用黑體小寫字母 $\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{w}$ 等表示。

特別的，每個分量都為0的向量是 $0$ 向量，$0=(0,0,?,0)$ 。

幾何中，可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象，因此，當 $m\le 3$ 時，可以把有向線段作為向量的幾何形象。但當 $m>3$ 時，就想象不出這種幾何形象，但可以沿用幾何術語。

根據矢量只有每個對應分量相等，兩個矢量才相等，定義向量相等。

定義 向量相等 向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 和向量 $\mathbf{w}=(w_1,w_2,?,w_m)$ 相等，當且僅當
$$\mathbf{v}＝\mathbf{w}?(v_1=w_1,v_2=w_2,?,v_m=w_m)$$
只有維數相同的向量才可能相等，$(2,3,0)$ 和 $(2,3)$ 是不同的向量。分量的順序很重要，如 $(2,3)$ 和 $(3,2)$ 是不同的向量。

向量加法和數乘

根據矢量相加規則，定義兩個向量加法規則，即對應分量相加。

定義 向量加法 向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 與向量 $\mathbf{w}=(w_1,w_2,?,w_m)$ 之和等于
$$\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,v_2+w_2,?,v_m+w_m)$$
例如： $(0,1)+(1,2)=(0+1,1+2)=(1,3)$ 。

根據定義，向量加法顯然滿足交換律和結合律，
$$\begin{gathered} \mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v} \\ (\mathbf{v}+\mathbf{u})+\mathbf{w}=\mathbf{v}+(\mathbf{u}+\mathbf{w}) \end{gathered}$$
根據兩個大小相等，方向相反矢量相加，等于 $0$ 矢量，定義向量的相反向量。

定義 相反向量 向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 的相反向量為 $\mathbf{w}=(?v_1,?v_2,?,?v_m)$ ，則 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=0$ 。

根據相反向量定義向量減法

定義 向量減法 $\mathbf{v}?\mathbf{w}=\mathbf{v}+(?\mathbf{w})$ 。

所以向量減法就是加上相反向量，可以看作加法，故本書除特別指明者外，一般只討論向量加法。

根據矢量大小滿足勾股定理，定義向量大小，向量大小也稱向量長度。

定義 向量長度 分量平方和的平方根為向量長度，向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,?,v_m)$ 的長度為 $\sqrt{v_1^2+?+v_m^2}$ ，記為 $\Vert \mathbf{v}\Vert$ ，也稱向量范數。

例如：向量 $(3,4)$ 的長度為 $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ 。

重要性質 只有 $0$ 向量的長度為0，其他向量長度均大于0。

根據三角不等式（兩邊之和大于第三邊，之差小于第三邊）得
$$\begin{gathered} \Vert \mathbf{v}＋\mathbf{w}\Vert \le \Vert \mathbf{v}\Vert +\Vert \mathbf{w}\Vert \\ |\Vert \mathbf{v}\Vert ?\Vert \mathbf{w}\Vert |\le \Vert \mathbf{v}?\mathbf{w}\Vert \end{gathered}$$

根據每個分量都乘以相同的實數 $\lambda$ 表示矢量長度變為原來的 $\lambda$ 倍，當$\lambda \ge 0$，向量方向不變，否則方向相反， 定義向量數乘。

定義 向量數乘 每個分量都乘以相同的實數 $\lambda$， $\lambda \mathbf{v}=(\lambda v_1,\lambda v_2,?,\lambda v_m)$ 。

向量 $\lambda \mathbf{v}$ 的長度為
$$\Vert \lambda \mathbf{v}\Vert =\sqrt{(\lambda v_1{)}^2+?+(\lambda v_m{)}^2}=|\lambda |\Vert \mathbf{v}\Vert$$
例如：向量 $(3,4)$ 的2倍數乘為 $(2?3,2?4)=(6,8)$ ，長度為10，是原向量長度的2倍，方向不變。該向量的－2倍數乘為 $(?2?3,?2?4)=(?6,?8)$ ，長度為10，是原向量長度的2倍，方向相反。

根據定義，向量數乘顯然滿足結合律和分配率，
$$\begin{gathered} \alpha (\beta \mathbf{v})=(\alpha \beta )\mathbf{v} \\ (\alpha +\beta )\mathbf{v}=\alpha \mathbf{v}+\beta \mathbf{v} \\ \alpha (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\alpha \mathbf{v}+\alpha \mathbf{w} \end{gathered}$$
這些定義和運算規則看似簡單，卻是整個線性代數的基礎，希望大家重視。

定義 單位向量 長度為1的向量為單位向量。

如向量 $(0,1)$ ， $(3,4)/5$ 和 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 均為單位向量。

重要性質 對任意向量可單位化。
$$\mathbf{u}=\mathbf{v}/\Vert \mathbf{v}\Vert 是單位向量，方向和向量\mathbf{v}相同，此時\lambda =1/\Vert \mathbf{v}\Vert$$
比如向量 $\mathbf{v}=(2,3)$ ，長度為 $\mathbf{v}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ ，所以單位向量 $\mathbf{u}=(2,3)/\sqrt{13}$ 。

內積

定義 向量距離 向量 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ 之間距離為向量 $\mathbf{v}?\mathbf{w}$ 的長度 $d(\mathbf{v},\mathbf{w})=\Vert \mathbf{v}?\mathbf{w}\Vert$ 。
$$\begin{gathered} d(\mathbf{v},\mathbf{w})=\Vert \mathbf{v}?\mathbf{w}\Vert \\ =\sqrt{(v_1?w_1{)}^2+(v_2?w_2{)}^2+?+(v_m?w_m{)}^2} \\ =\sqrt{(v_1^2+v_2^2+?+v_m^2)+(w_1^2+w_2^2+?+w_m^2)?2(v_1{w}_1+v_2{w}_2+?+v_m{w}_m)} \\ =\sqrt{\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2?2(\mathbf{v},\mathbf{w})} \end{gathered}$$

公式最后一項和定義為兩個向量內積，內積也稱點積，是個數。

定義 內積 兩個向量內積 $(\mathbf{v},\mathbf{w})＝v_1{w}_1+v_2{w}_2+?+v_m{w}_m$ 。

顯然 $\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}$ ，即范數等于內積平方根。

可見內積可以定義范數，范數又可以定義距離，內積是最基本的運算。

向量 $\mathbf{v}=(1,2),\mathbf{w}=(3,?4)$ ，內積 $(\mathbf{v},\mathbf{w})=1?3+2??4=?5$ 。

根據定義，內積滿足交換律和結合律，
$$\begin{gathered} (\mathbf{v},\mathbf{w})=(\mathbf{w},\mathbf{v}) \\ (\lambda \mathbf{v},\mathbf{w})=\lambda (\mathbf{v},\mathbf{w}) \\ (\mathbf{v},\mathbf{w}+\mathbf{u})=(\mathbf{v},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{u}) \end{gathered}$$
什么情況下兩個向量的內積為0？顯然任一向量為 $0$ 向量時，內積為0。兩個向量均不為 $0$ 向量時，內積能為0嗎？向量 $\mathbf{v}=(1,0),\mathbf{w}=(0,1)$， $(\mathbf{v},\mathbf{w})=1?0+0?1=0$ ，所以答案是肯定的。內積為0時，兩個向量有什么關系呢？

向量 $\mathbf{v}?\mathbf{w}，\mathbf{v}，\mathbf{w}$ 構成三角形，根據余弦定理，有如下關系
$$\Vert \mathbf{v}?\mathbf{w}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2?2\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert \cos (\mathbf{v},\mathbf{w})$$
重要性質：
$$\begin{gathered} (\mathbf{v},\mathbf{w})=\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert \cos (\mathbf{v},\mathbf{w}) \\ \cos (\mathbf{v},\mathbf{w})是向量\mathbf{v},\mathbf{w}之間夾角的余弦。 \end{gathered}$$
重要性質：兩個向量垂直時，內積為0；夾角小于90度時內積為正；大于90度時為負。

物理學中，如何求力做的功？就是力與位移的內積！力垂直于位移時，做功為0。這就是內積的物理意義。

物理學中，如何求力在坐標軸的分量，也稱力在坐標軸的投影，就是力乘以力與坐標軸夾角的余弦！

重要性質：向量 $\mathbf{v}$ 為單位向量時，內積為投影， $(\mathbf{v},\mathbf{w})=\Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert \cos (\mathbf{v},\mathbf{w})=\Vert \mathbf{w}\Vert \cos (\mathbf{v},\mathbf{w})$

重要性質：向量 $\mathbf{v},\mathbf{w}$ 為單位向量時，內積為余弦， $(\mathbf{v},\mathbf{w})=\cos (\mathbf{v},\mathbf{w})$ ，內積越大時，兩個向量夾角越小， 向量越相似。所以內積可以作為兩個向量相似程度的度量。

余弦絕對值小于等于1，得到重要不等式
$$|(\mathbf{v},\mathbf{w})|\le \Vert \mathbf{v}\Vert \Vert \mathbf{w}\Vert$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的1.1 向量基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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